Cálculo Intermediário/Índice/Formas polares

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

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Formas polares

Outro interessante método para representar valores em um gráfico é a chamada representação polar, da mesma forma que na forma paramétrica temos casos em que funções podem ser expressas de uma maneira mais apropriada, tornando-as mais simples para que possam ser analisadas. A forma polar é especialmente importante no estudo de variáveis e funções complexas, seu estudo é bastante simples, porém recomenda-se sempre uma certa cautela quando conceitos novos são apresentados, como já dissemos anteriormente.

As coordenadas

A representação dos valores em um gráfico polar é feita com base em um sistema de referência obtido a partir de um ponto e uma semi-reta horizontal a partir deste (eixo polar), este ponto é chamado de orígem (polo de referência). Quando colocamos outro ponto qualquer no sistema, podemos traçar um segmento de reta da orígem ao referido ponto, o comprimento do segmento de reta entre os dois pontos representa o valor numérico que desejamos expressar e o ângulo formado entre este segmento de reta e o eixo polar indica o sentido da progressão do valor da orígem ao ponto. Desta forma estabelecemos uma relação entre dois "polos", portanto, um sistema "polar".

Quando expressamos valores em torno do sistema polar, na maioria das vezes, criamos uma representação de um ou mais contornos para o polo, a circunferência é um exemplo simples de representação polar, onde o centro é o polo e o raio é uma constante, devido a esta propriedade, podemos traçar circunferências para vários valores de raio a partir do polo, estabelecendo uma estrutura de referência de valores para uma melhor leitura dos gráficos.

Com relação ao ângulo, devemos observar a seguintes convenções:

• Para rotação no sentido horário temos ângulos negativos;
• Para rotação no sentido anti-horário temos ângulos positivos.

Devido a estas características angulares, um sistema polar pode representar o mesmo valor para diferentes coordenadas, a natureza cíclica dos valores é claramente notável devido a mesma característica cíclica que os ângulos detêm, portanto pontos de coincidência de valores para funções sem limites superiores são comuns, valores expressos desta forma podem ser encontrados em intervalos com tendências infinitas tais quais:

• $(-\infty ,\infty )\,\!$
• $(0,\infty )\,\!$
• $(-\infty ,0)\,\!$

Portanto, para a análise de tais funções, devemos ter o cuidado de observar a ocorrência de valores coincidentes, da mesma forma que o fazemos quando analisamos funções trigonométricas.

Observemos um gráfico polar de uma circunferência de raio igual a quatro:

circunferência polar R = 4

Neste gráfico é possível observar que todos os pontos possuem amplitude (valor numérico) igual a quatro, ou seja, para qualquer ângulo que façamos referência teremos este valor.

As coordenadas polares podem ser definidas como pares de valores de raio e ângulo:

$(r,\theta )\,\!$

O que nos permite estabelecer uma relação de valores a serem representadas em um gráfico através de uma tabela com estas coordenadas.

Contornos do polo podem representar valores em relação a grandezas geometricamente variáveis em relação a ângulos de forma semelhante a relação de valores num gráfico cartesiano formal, a forma de análise de tais valores torna-se diferente devido ao fato de termos que nos habituar a observar as distâncias entre os pontos e a orígem. Podemos estabelecer uma regra para relacionar os valores polares e cartesianos da seguinte maneira:

$\cos(\theta )={\frac {x}{r}}$

$x=r\ \cos(\theta )\,\!$

$\ {\mbox{sen}}(\theta )={\frac {y}{r}}$

$y=r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )\,\!$

Desta forma podemos calcular as coordenadas cartesianas para pontos em coordenadas polares. Se tivermos valores relacionados em coordenadas cartesianas e tivermos que transformá-los em coodenadas polares podemos usar as seguintes equações para encontrá-las:

• $r^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!$

• $\theta =\ {\mbox{arctg}}\left({\frac {y}{x}}\right)$

É importante notar que os valores para $\theta \,\!$ devem ser analisados cuidadosamente, pois temos dois valores possíveis para o ângulo que nos fornece o valor da equação acima, sempre que tivermos que verificar um ângulo para os valores de coordenadas cartesianas devemos observar em que quadrante o valor está expresso. De forma geral, coordenadas cartesianas de pontos no primero e terceiro quadrantes informam o mesmo valor positivo para a tangente, já com pontos do segundo e quarto quadrante, o mesmo valor absoluto ocorre, porém com tangentes negativas.

Funções polares

Tendo um sistema que nos permite localizar pontos em um gráfico, podemos agora entender o comportamento das funções que devemos analisar neste sistema. Podemos definir a função polar como:

$r=f(\theta )\,\!$

Onde $\theta \,\!$ é limitada ao intervalo angular do ciclo fechado, ou seja:

$[0,2\pi ]\,\!$

Uma função polar é expressa no gráfico polar da mesma forma que uma função algébrica é expressa num gráfico cartesiano, a única diferença é que no gráfico polar os valores contornam o seu centro, os pontos relatam na distância ao centro o valor da função para cada ângulo.

Plotando gráficos de funções

Analisemos um gráfico cartesiano e seu correspondente polar para verificar como plotar os valores no novo formato:

Ficheiro:Cosseno.png $y=\cos(x)\,\!$

Ficheiro:Cosseno polar.png $r=\cos(\theta )\,\!$

Vejamos como fazer uma correspondência entre os gráficos:

Iniciando por valores de ângulos negativos, observe que para $\theta =-\pi \,\!$ temos $r=-1\,\!$ de forma que o valor é expresso do lado oposto ao eixo $y\,\!$ coincidindo com o valor unitário positivo, esta é mais uma característica da representação polar, os valores de $r\,\!$ são sempre representados em módulo, pois os valores do eixo são sempre crescentes. Observe que quando nos deslocamos para $\theta =-{\frac {\pi }{2}}$ os valores tendem a diminuir até zero e depois tornam-se positivos quando ultrapassam este ângulo, comparando os valores nos dois gráficos notamos que no gráfico polar os raios aumentam a partir deste ângulo passando a traçar a curva no lado oposto ao eixo $x\,\!$, ao chegar ao ângulo zero o valor volta a ser unitário, passando a diminuir novamente. Da mesma forma o ciclo se repete para valores de ângulos positivos fechando a curva como vemos no gráfico.

Convertendo funções cartesianas

Agora façamos a conversão de uma função cartesiana para polar... O exemplo será uma simples reta, para que tenhamos noção de como funciona a conversão que vimos na seção anterior.

Seja a reta: $y=x+5\,\!$.

Calculemos a forma polar para a mesma, conforme as equações de conversão apresentadas anteriormente:

$\ {\mbox{tg}}(\theta )={\frac {y}{x}}$

$\ {\mbox{tg}}(\theta )={\frac {x+5}{x}}$

$x={\frac {5}{\ {\mbox{tg}}(\theta )-1}}$

Por outro lado:

$r^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!$

Onde substituimos os valores das variáveis cartesianas:

$r^{2}=\left[{\frac {5}{\ {\mbox{tg}}(\theta )-1}}\right]^{2}+\left[{\frac {5}{\ {\mbox{tg}}(\theta )-1}}+5\right]^{2}$

$r^{2}={\frac {25}{[\ {\mbox{tg}}(\theta )-1]^{2}}}+{\frac {25tg^{2}(\theta )}{[\ {\mbox{tg}}(\theta )-1]^{2}}}$

$r^{2}={\frac {25\left[1+tg^{2}(\theta )\right]}{[\ {\mbox{tg}}(\theta )-1]^{2}}}$

$r^{2}={\frac {25}{[\ {\mbox{tg}}(\theta )-1]^{2}\cos ^{2}(\theta )}}$

$r^{2}={\frac {25}{[{\frac {\ {\mbox{sen}}(\theta )-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}]^{2}\cos ^{2}(\theta )}}$

$r^{2}={\frac {25}{[\ {\mbox{sen}}(\theta )-\cos(\theta )]^{2}}}$

O que resulta em:

$r={\frac {5}{\ {\mbox{sen}}(\theta )-\cos(\theta )}}$

Derivadas

Basicamente, o processo para derivação de funções polares é o mesmo usado para funções com representação cartesiana, a derivada primeira é obtida através da diferenciação de $r\,\!$ em relação a $\theta \,\!$, o que representa apenas uma mudança na nomenclatura das variáveis. porém podemos estender os dados a serem obtidos com a análise destes valores fazendo a derivação da função parametrizada.

Considerando que a representação de valores polares são mais apropriados de serem analisados em uma perspectiva paramétrica, podemos definir as derivadas a partir das equações paramétricas da curva polar:

$x=r\ \cos(\theta )\,\!$

${\frac {dx}{d\theta }}={\frac {dr}{d\theta }}\cos(\theta )-r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )$

para $y\,\!$ temos:

$y=r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )\,\!$

${\frac {dy}{d\theta }}={\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )+r\ \cos(\theta )$

Uma vez que queremos a derivada da função para as coordenada cartesianas temos:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )+r\ \cos(\theta )}{{\frac {dr}{d\theta }}\cos(\theta )-r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )}}$

Com estas derivadas podemos extrair mais informações das funções polares e obter mais recursos para analisá-las, podemos, por exemplo, encontrar as tangentes verticais:

${\frac {dx}{d\theta }}={\frac {dr}{d\theta }}\cos(\theta )-r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )\ =\ 0$

${\frac {dr}{d\theta }}\ =\ r\ {\frac {\ {\mbox{sen}}(\theta )}{\cos(\theta )}}$

${\frac {dr}{d\theta }}\ =\ r\ \ {\mbox{tg}}(\theta )$

Portanto, se quisermos encontrar os pontos da curva onde existem tangentes verticais devemos encontrar a derivada da função polar em relação ao ângulo e depois substituí-la junto com a própria função, que define $r\,\!$, na equação acima, obtendo o ângulo no gráfico onde a tangente vertical estará definida.

Procedimento semelhante fazemos para o caso das tangentes horizontais, usando a equação que define a derivada de $y\,\!$ em relação ao ângulo:

${\frac {dy}{d\theta }}={\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )+r\ \cos(\theta )\ =\ 0$

${\frac {dr}{d\theta }}\ =\ -r\ {\frac {\cos(\theta )}{\ {\mbox{sen}}(\theta )}}$

${\frac {dr}{d\theta }}\ =\ -r\ co\ {\mbox{tg}}(\theta )$

O que define o mesmo procedimento anterior para obtenção dos dados e a equação acima em substituição da anterior para a obtenção das tangentes horizontais.

Plotando gráficos

Podemos utilizar os dados obtidos com as derivadas para facilitar o esboço de gráficos da mesma forma que fizemos no caso das funções paramétricas, as regras são as mesmas, ou seja:

Consideremos o ângulo como parâmetro, teremos as seguintes equações:

• Tangentes horizontais
  • ${\frac {dy}{d\theta }}\ =\ 0$

• Tangentes verticais
  • ${\frac {dx}{d\theta }}\ =\ 0$

O que define as equações da seção anterior para que possamos encontrar estes valores, por outro lado também temos outros dados que facilitam o cálculo de tangentes verticais e horizontais:

Quando temos,

${\frac {dy}{dx}}=0$

isto é o mesmo que:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{d\theta }}{\frac {dx}{d\theta }}}=0$

Que só é válida se:

${\frac {dy}{d\theta }}\ =\ 0\quad \land \quad {\frac {dx}{d\theta }}\ \not =\ 0$

Que nos revela a tangente horizontal.

e ainda, quando temos,

${\frac {dy}{dx}}=\infty$

isto é o mesmo que:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{d\theta }}{\frac {dx}{d\theta }}}=\infty$

Que só é válida se:

${\frac {dy}{d\theta }}\ \not =\ 0\quad \land \quad {\frac {dx}{d\theta }}\ \to \ 0$

Que nos revela a tangente vertical.

Portanto, para um esboço do gráfico de uma função com representação polar podemos encontrar a derivada:

$f\ '(x)={\frac {dy}{dx}}$

Encontrando os pontos onde a derivada tende a valores infinitos ou nulos para encontrar as tangentes verticais e horizontais, depois identificamos os intervalos onde a função é ascendente ou descendente juntamente com a análise da seqüência dos valores dos ângulos para cada ponto.

Exemplo

Agora iremos fazer um esboço de um gráfico, para que tenhamos noção dos conceitos apresentados nesta seção.

Esboçaremos o gráfico polar da função seno:

$r=\ {\mbox{sen}}(\theta )\,\!$

Para isso encontremos a derivada para identificar os ãngulos onde há tangentes verticais e horizontais, calculando os valores da função e identificando as tendências, para que possamos ter uma estimativa do comportamento dos valores que delineiam o gráfico:

• Procedimento:

Calculemos as tangentes verticais e horizontais:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )+r\ \cos(\theta )}{{\frac {dr}{d\theta }}\cos(\theta )-r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )}}$

${\frac {dy}{dx}}=frac{\cos(\theta )\ \ {\mbox{sen}}(\theta )+\ {\mbox{sen}}(\theta )\ \cos(\theta )}{\cos ^{2}(\theta )-\ {\mbox{sen}}^{2}(\theta )}$

${\frac {dy}{dx}}=frac{2\ \ {\mbox{sen}}(\theta )}{\cos ^{2}(\theta )-1+\cos ^{2}(\theta )}$

${\frac {dy}{dx}}=frac{2\ \ {\mbox{sen}}(\theta )}{2\ \cos ^{2}(\theta )-1}$

• ${\frac {dy}{dx}}=frac{\ {\mbox{sen}}(2\ \theta )}{2\ \cos ^{2}(\theta )-1}$

Para as tangentes horizontais:

$\ {\mbox{sen}}(2\ \theta )=0\,\!$

Para este caso temos os ângulos:

$\theta =\left\{0,\pi ,{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\ \pi }{2}}\right\}$

Que nos fornece os valores para a função:

$r=\left\{0,0,1,-1\right\}\,\!$

Para as tangentes veticais:

$2\ \cos(\theta )-1=0\,\!$

$\cos(\theta )=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

Para este caso temos os ângulos:

$\theta =\left\{{\frac {\pi }{4}},{\frac {3\ \pi }{4}},{\frac {5\ \pi }{4}},{\frac {7\ \pi }{4}}\right\}$

Que nos fornece os valores para a função:

$r=\left\{{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right\}$

• Resultado:

Consequentemente, obtemos o seguinte gráfico:

Ficheiro:Seno polar.png Seno polar

Os extremos são apresentados com tangentes horizontais, enquanto que os valores intermediários, "transições", são apresentadas com tangentes verticais. Note que, devido às características cíclicas do gráfico polar os valores positivos e negativos se sobrepõem.

Integrais

A integração de funções polares é feita da mesma forma que a de funções cartesianas, porém algumas considerações acerca do comportamento dos valores e sua interpretação são necessárias para uma melhor compreesão dos efeitos do processo de integração formal.

Considerando que temos basicamente uma categoria de funções: $r(\theta )$, sendo que o cálculo da integral da mesma parece simples, a princípio, visto que basta fazer a substituição das variáveis e depois adaptar os valores, porém devemos ter em mente que a integral de uma função com representação polar não nos dá o valor da área da curva polar sob o eixo $x\,\!$, na verdade temos:

• $x=r(\theta )\ \cos(\theta )\,\!$
• $y=r(\theta )\ \ {\mbox{sen}}(\theta )\,\!$

De fato, se tivermos que considerar o valor da integral da função polar e de sua correspondente paramétrica teremos valores discordantes o que nos chama a atenção para que não usemos a integral simples sobre $r(\theta )\,\!$ para avaliações sobre a curva, visto que os valores não são coerentes para os casos onde temos valores que alternam entre positivos e negativos. Com a análise algébrica de sinais é possível notar que os valores das funções polares, onde temos sinais negativos, anulam parte das áreas onde o sinal da função é positivo, descaracterizando a avaliação da integral destas funções nestes casos.

Para o cálculo de áreas, comprimento de curvas e avaliações numéricas devemos adotar uma forma de cálculo próprio para funções polares, que viabilize uma avaliação correta dos valores, sem que as características circulares interfiram no resultado final, na verdade, devemos levar em conta estas caracteísticas para efetuar o cálculo de forma correta.

Áreas

As funções polares são, basicamente, criadas sob a óptica de um sistema circular, ou seja, como os valores se expandem de forma radial temos valores expressos em raios variáveis, o que nos inspira a imaginar que devemos fazer o cálculo de suas áreas com base no estudo da integração de setores circulares infinitesimais.

A medida de áreas em setores circulares é proporcional ao ângulo, em setores de raio unitário corresponde ao próprio ângulo. Para calcular a medida da área em setores circulares temos:

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta$

Em uma curva polar, se tivermos que calcular a área dentro dos limites estabelecidos por ângulos, podemos secionar a curva em diversos setores circulares infinitesimais e fazer a sua somatória, o que nos dá o valor da área para aquele intervalo de ângulos no gráfico polar, considerando que:

$r=f(\theta )\,\!$

Podemos admitir que cada setor seja:

$\Delta A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta$

Sendo a área total aproximadamente:

$A\approx {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{n}[f(\theta )]^{2}\Delta {\theta }$

Admitindo valores de setores circulares cada vez menores:

$A={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }\sum _{n=1}^{n}[f(\theta )]^{2}\Delta {\theta }$

Uma vez que podemos fazer:

$\Delta {\theta }=frac{\theta }{n}$

$\lim _{n\to \infty }\Delta {\theta }=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta \theta }{n}}$

é o mesmo que:

$\lim _{\Delta \theta \to 0}\Delta {\theta }=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta \theta }{n}}$

logo:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta \theta }{n}}=d{\theta }$

Ou seja:

$A={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}[f(\theta )]^{2}d{\theta }$

Onde $a\,\!$ e $b\,\!$ são os ângulos que delimitam o setor da curva onde queremos encontrar a área.

Exemplo

Dada a função polar:

$r=\cos(\theta )\,\!$

Calcular a área da curva compreendida entre os ângulos $0\,\!$ e ${\frac {\pi }{4}}\,\!$.

Cálculo

$A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}[\cos(\theta )]^{2}d{\theta }$

$A={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}\theta -{\frac {1}{4}}\ {\mbox{sen}}(2\theta )\right]_{0}^{\frac {\pi }{4}}$

$A={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\pi }{8}}-{\frac {1}{4}}\right]$

$A\approx 0,071\,\!$ unidades quadradas.

Comprimento de curvas

Calcular o comprimento de uma curva descrita por uma função em forma polar não é algo tão difícil, uma vez que devemos vê-la como uma função que pode ser facilmente transformada para a forma paramétrica, devemos utilizar a equação do cálculo do comprimento de curva que deduzimos no capítulo anterior:

$C=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{d{\theta }}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d{\theta }}}\right)^{2}}}d{\theta }$

Do cálculo das derivadas temos que:

${\frac {dx}{d\theta }}={\frac {dr}{d\theta }}\cos(\theta )-r\ \ {\mbox{sen}}(\theta )$

e

${\frac {dy}{d\theta }}={\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )+r\ \cos(\theta )$

Dos quais, devemos obter os quadrados:

$\left({\frac {dx}{d\theta }}\right)^{2}\qquad =\qquad \left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\cos ^{2}(\theta )-2r\ {\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )\ \cos(\theta )+r^{2}\ \ {\mbox{sen}}^{2}(\theta )$

$+\,\!$

$\left({\frac {dy}{d\theta }}\right)^{2}\qquad =\qquad \left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\ {\mbox{sen}}^{2}(\theta )+2r\ {\frac {dr}{d\theta }}\ {\mbox{sen}}(\theta )\ \cos(\theta )+r^{2}\ \cos ^{2}(\theta )$

$\left({\frac {dx}{d{\theta }}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d{\theta }}}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\qquad \quad +\qquad 0\qquad \quad +\qquad \quad r^{2}$

Logo podemos dizer que a fórmula do comprimento de arco da curva é:

$C=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}d{\theta }$

Exemplo

Calculemos o comprimento da curva do cosseno na representação polar entre os ângulos ${\frac {\pi }{2}}$ e ${\frac {3\pi }{4}}$ :

Temos:

$r=\cos(\theta )\,\!$

e

${\frac {dr}{d{\theta }}}=-\ {\mbox{sen}}(\theta )\,\!$

O que nos dá:

$C=\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {3\pi }{4}}{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )+\left(-\ {\mbox{sen}}(\theta )\right)^{2}}}d{\theta }$

$C=\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {3\pi }{4}}{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )+\ {\mbox{sen}}^{2}(\theta )}}d{\theta }$

$C=\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {3\pi }{4}}d{\theta }$

$C=\left.{\frac {\theta }{}}\ \right|_{\frac {\pi }{2}}^{\frac {3\pi }{4}}$

$C={\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}$

$C={\frac {\pi }{4}}$

Logo:

$C\approx 0,785\,\!$ unidades de comprimento.

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