Geometria Descritiva/1-A Épura

A Geometria Descritiva tem como objectivo representar com exatidão objetos tridimensionais em suportes bidimensionais (como uma folha de papel), sendo utilizada em inúmeras aplicações, como design, arquitetura, entre muitos outros.

A Épura

Para representar com exactidão os objectos a geometria descritiva recorre à épura, uma forma de representação que utiliza dois planos perpendiculares (os planos de projecção), nos quais serão representados duas vistas do objeto, uma de frente e outra de cima.

Estes planos de projeção são o plano frontal de projeção e o plano horizontal de projeção, e a sua intersecção é chamada eixo x.

Para visualizar como a épura funciona observe a seguinte imagem:

Pirâmide quadrangular e triângulo equilátero projetados nos planos de projeção.

Repare a forma como as projeções foram obtidas:

Conhecidos os objetos e a sua posição relativa, faz-se passar por eles retas projetantes, perpendiculares a cada um dos planos de projeção e paralelas entre si.
Na interseção das retas projetantes com os planos de projeção obtém-se uma Projeção do objecto.

Todos os objetos são representados por estas duas projeções, um olhar experiente deve poder rapidamente compreender o objeto na sua tridimensionalidade a partir das projeções.

Mas como se representam no papel estas projeções?

Para fazer isso é necessário sobrepor os dois planos projetantes da seguinte forma:

Os planos com as projeções "movem-se" desta maneira.

Pelo que o resultado final é este:

Resultado da operação da sobreposição dos planos de projeção

Portanto, temos representadas finalmente as projeções dos objetos num único plano.

A azul, temos a projeção horizontal, que nos mostra o objecto visto de cima.
Esta projecção é resultado da passagem pelo objecto de rectas projectantes, paralelas entre si e perpendiculares ao plano horizontal de projecção (portanto verticais).
Note que o eixo x é a projecção do plano frontal de projecção no plano horizontal, nele estão contidas as projecções de todos os pontos no plano frontal de projecção. Portanto, a distância dos pontos ao plano frontal de projecção corresponde à distância da sua projecção horizontal ao eixo x.

A verde, temos a projecção frontal, que nos mostra o objecto visto de frente.
Esta projecção é resultado da passagem pelo objecto de rectas projectantes, paralelas entre si e perpendiculares ao plano frontal de projecção (portanto horizontais).
Note que o eixo x é a projecção do plano horizontal de projecção no plano frontal, nele estão contidas as projecções de todos os pontos no plano horizontal de projecção. Portanto, a distância dos pontos ao plano horizontal de projecção (a sua altura) corresponde à distância da sua projecção frontal ao eixo x.

As linhas cinzentas são guias que ajudam à marcação dos pontos. Notar que, naturalmente, as projecções de um mesmo ponto estão sempre sobre uma guia perpendicular ao eixo x, já que as rectas projectantes estarão num plano perpendicular a ambos os planos de projecção. Estas guias correspondem à projecção em cada plano de projecção das rectas projectantes que permitiram a realização da outra projecção.

Projecção Cilíndrica

A dupla projecção ortogonal é um método em que é usado o sistema de projecção cilíndrica, paralela e ortogonal, cujas caractrísticas têm que ser estudadas. Este sistema envolve rectas projectantes paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projecção. Isto implica:

Objectos com o mesmo tamanho parecem ter o mesmo tamanho não importa a distância.
Não há pontos de fuga.
Se houver uma superfície perpendicular ao plano de projecção, podem-se tirar as medidas directamente.

Em ambos os casos vê-se de canto um edifício e uma coluna mais distante com a mesma altura.

Como se pode ver, existe uma insuficiência na projecção cilíndrica no que diz respeito à percepção das distâncias, é por isso que se utilizam duas projecções, na primeira imagem seria necessária a existência de uma planta para se perceber a distância entre os objectos.

A vantagem da projecção cónica é a adequação da imagem à realidade da visão humana, enquanto a vantagem da projecção paralela é a facilidade em retirar medidas em verdadeira grandeza.

Notação

Vamos agora introduzir a notação que se utiliza em geometria descritiva, essencial para que outros possam compreender o desenho.

As projecções da pirâmide e o triângulo que já representámos aparecem com cores diferentes, mas como os desenhariamos com lápis na folha?

Esta imagem revela a aparência do desenho da pirâmide rectangular e do triângulo que têm servido de exemplo nesta aula.

A distinção das projecções de entidades (pontos, rectas, figuras, etc.) é feita através da junção de um índice ao nome da entidade, 1 para a projecção horizontal, 2 para a projecção frontal.
As linhas usadas como guias aparecem muito menos marcadas, já que são apenas auxiliares, o objectivo de um exercício ou projecto seriam os objectos em si, isso é que aparece em destaque.

Força das Linhas

Ao desenhar qualquer projecto verá que é fácil ele ficar visualmente poluído com linhas e traços que o tornam elegível, portanto, lembre-se destas regras:

O objecto pedido no enunciado é o mais importante e os traços têm que se destacar.
O referencial (eixo x) também tem que ser assinalado com importância já que é essencial para se "ler" o desenho final.
As linhas que servem de suporte ao desenho (como aquelas guias usadas para determinar a distância das projecções ao eixo x) serão desenhadas muito leve, de forma a ver-se como se chegou ao resultado final (pode ser importante para fazer igual ou para ser avaliado), mas de forma a não impedir a visualização imediata daquilo que era pedido.

Exercícios resolvidos 1:

Como se representará uma cubo, com lados paralelos aos planos de projecção?
E um quadrado horizontal?
E um quadrado vertical que faz 45 graus com o plano frontal de projecção?

Pense como será, de forma geral,o desenho destes objectos em geometria descritiva, e veja se corresponde à resolução abaixo.

Resolução

Exercício 1

Ora nós sabemos que todos os objectos terão duas projecções, pelo que o cubo também terá duas projecções, uma vista de frente, outra vista de cima. Sabemos também que estas projecções são o resultado da passagem de rectas pelo cubo perpendiculares a dois planos ortogonais.

Temos que compreender primeiro a posição do objecto no espaço, e se necessário fazer até um esboço. Trata-se de um cubo com duas faces paralelas aos planos de projecção. Podemos compreender que o cubo terá algumas arestas paralelas ao eixo x, e que na verdade ambas as projecções serão quadrados, uma vez que todas as outras arestas do cubo têm as suas arestas tapadas por aquelas mais próximas do plano.

Teremos portanto projecções que são quadrados, com lados paralelos ao eixo x. É preciso prestar atenção ao esboço do desenho no espaço para dar nome aos pontos (já que temos de saber que projecções de pontos correspondem ao mesmo ponto).

Observe a imagem que mostra o objecto quer no espaço quer desenhado. (imagem)

Exercício 2

Como é horizontal, este quadrado aparecerá nas suas correctas dimensões na projecção horizontal, enquanto a projecção frontal é uma linha horizontal, já que o quadrado é visto de lado. Não é especificada a posição do quadrado, podemos desenhá-lo com qualquer orientação, o que é importante é que a linha horizontal se limite à largura do quadrado (ver imagem).

Quadrado horizontal

Exercício 3

Como o quadrado é vertical, podemos perceber que a projecção horizontal será apenas uma linha, onde estão projectados todos os pontos do quadrado que está por cima. Essa linha fará 45º com o eixo x, que é a projecção do plano frontal tem a dimensão do lado do quadrado uma vez que é a projecção de dois dos lados do quadrado. A projecção frontal terá de mostrar o objecto visto de frente, lembrando que este quadrado está de lado. Isso significa desenhar na prática um rectângulo que tenha de altura o mesmo comprimento da linha traçada, e estendido para os lados tal como a linha (ver imagem).

Exercícios 1

Lembre-se que antes de fazer qualquer exercício convém imaginar o que lhe é pedido no espaço e prever o resultado antes sequer de começar a desenhar.

1 Sabendo que a projecção frontal é o objecto visto de frente, e nela o eixo x representa o plano horizontal, e que a projecção horizontal é o plano visto de cima, e nela o eixo x representa o plano frontal, responda:

1.1 Vendo as resoluções propostas dos Exercícios Resolvidos apresente para cada caso os pontos mais próximos de cada plano de projecção, os mais afastados e os mais próximos.

1.2 A que projecção é que teve que recorrer para ver quais os pontos mais próximos do plano frontal de projecção?

2 Veja a imagem da pirâmide que serve de exemplo a esta aula, e depois a sua representação segundo a notação da geometria descritiva.

2.1 Desenhe-a com a base encostada ao plano horizontal de projecção.

2.2 Desenhe-a com o dobro da altura.

(Nota: Não é preciso tirar medidas, basta fazê-la a olho!)

Solução

Próxima Aula:

2-Coordenadas