Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I
Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois excencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x , teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por
[
cos
(
α
)
,
sen
(
α
)
]
{\displaystyle [\cos(\alpha ),\ {\mbox{sen}}(\alpha )]}
(
Δ
x
)
{\displaystyle (\Delta x)}
tg
(
x
)
=
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
que é:
tg
(
x
)
=
sen
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}}
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?
Para definir h , a hipotenusa, façamos :
h
2
(
x
)
=
1
2
+
tg
2
(
x
)
{\displaystyle h^{2}(x)=1^{2}+\ {\mbox{tg}}^{2}(x)}
h
2
(
x
)
=
1
2
+
sen
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle h^{2}(x)=1^{2}+{\frac {\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
h
2
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
+
sen
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle h^{2}(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
Da identidade relacional temos:
h
2
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
{\displaystyle h^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}
portanto:
h
(
x
)
=
1
cos
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}
Este valor é o que chamamos de secante , que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:
sec
(
x
)
=
1
cos
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.
Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.
I-14 Relacionando tangente e secante
editar
Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre
tg
(
x
)
e
sec
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(x)\ e\ \sec(x)}
1
+
tg
2
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle 1+\ {\mbox{tg}}^{2}(x)=\sec ^{2}(x)}
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.
editar
Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:
tg
(
a
−
b
)
=
tg
(
a
)
−
tg
(
b
)
1
+
tg
(
a
)
tg
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}}
Comprovação:
Considerando a definição da tangente temos:
tg
(
a
−
b
)
=
sen
(
a
−
b
)
cos
(
a
−
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{sen}}(a-b)}{\cos(a-b)}}}
tg
(
a
−
b
)
=
sen
(
a
)
cos
(
b
)
−
sen
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
+
sen
(
a
)
sen
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\cos(b)-\ {\mbox{sen}}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}}}
tg
(
a
−
b
)
=
sen
(
a
)
cos
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sen
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
+
sen
(
a
)
sen
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}}{{\frac {\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}}+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}}}
tg
(
a
−
b
)
=
sen
(
a
)
cos
(
a
)
−
sen
(
b
)
cos
(
b
)
1
+
sen
(
a
)
sen
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}{1+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}}}
tg
(
a
−
b
)
=
sen
(
a
)
cos
(
a
)
−
sen
(
b
)
cos
(
b
)
1
+
sen
(
a
)
cos
(
a
)
sen
(
b
)
cos
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}{1+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}}}
Resultando em:
tg
(
a
−
b
)
=
tg
(
a
)
−
tg
(
b
)
1
+
tg
(
a
)
tg
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}}
O que comprova a identidade.
tg
(
a
+
b
)
=
tg
(
a
)
+
tg
(
b
)
1
−
tg
(
a
)
tg
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a+b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)+\ {\mbox{tg}}(b)}{1-\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}}
Comprovação:
Admitamos
b
=
−
b
{\displaystyle b=-b}
tg
(
a
−
(
−
b
)
)
=
tg
(
a
)
−
tg
(
−
b
)
1
+
tg
(
a
)
tg
(
−
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a-(-b))={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(-b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(-b)}}}
Considerando que a tangente é:
tg
(
x
)
=
sen
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}}
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:
tg
(
a
+
b
)
=
tg
(
a
)
+
tg
(
b
)
1
−
tg
(
a
)
tg
(
b
)
{\displaystyle \ {\mbox{tg}}(a+b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)+\ {\mbox{tg}}(b)}{1-\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}}
O que comprova a identidade.
Seja
f
(
x
)
=
tg
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{tg}}(x)}
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}
lim
x
→
π
2
tg
(
x
)
∄
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\ {\mbox{tg}}(x)\quad \not \exists }
f
(
x
)
=
sen
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}}
logo, pela derivada da razão :
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
cos
(
x
)
−
sen
(
x
)
[
−
sen
(
x
)
]
cos
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
+
sen
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}
Portanto:
f
′
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)=\sec ^{2}(x)}
Seja
f
(
x
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sec(x)}
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}
lim
x
→
π
2
sec
(
x
)
∄
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\sec(x)\quad \not \exists }
f
(
x
)
=
1
cos
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}
logo, pela derivada da razão :
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
⋅
(
0
)
−
1
⋅
(
−
sen
(
x
)
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cdot (0)-1\cdot (-\ {\mbox{sen}}(x))}{\cos ^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
sen
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
sen
(
x
)
cos
(
x
)
⋅
1
cos
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}\cdot {\frac {1}{\cos(x)}}}
O que nos revela:
f
′
(
x
)
=
tg
(
x
)
sec
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)=\ {\mbox{tg}}(x)\sec(x)}
Seja a função
f
(
x
)
=
tg
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{tg}}(x)\,\!}
F
(
x
)
=
∫
tg
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int \ {\mbox{tg}}(x)dx}
F
(
x
)
=
∫
sen
(
x
)
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}dx}
Por outro lado, se:
u
=
cos
(
x
)
{\displaystyle u=\cos(x)\,\!}
d
u
=
−
sen
(
x
)
d
x
{\displaystyle du=-\ {\mbox{sen}}(x)dx\,\!}
O que nos possibilita afirmar que:
F
(
x
)
=
−
∫
d
u
u
{\displaystyle F(x)=-\int {\frac {du}{u}}}
F
(
x
)
=
−
ln
|
cos
(
x
)
|
{\displaystyle F(x)=-\ln |\cos(x)|\,\!}
F
(
x
)
=
ln
|
1
cos
(
x
)
|
{\displaystyle F(x)=\ln \left|{\frac {1}{\cos(x)}}\right|}
Portanto:
F
(
x
)
=
ln
|
sec
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle F(x)=\ln |\sec(x)|+C\,\!}
Seja a função
f
(
x
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sec(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
F
(
x
)
=
∫
sec
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int \sec(x)dx}
multiplicando e dividindo
sec
(
x
)
+
tg
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)}
F
(
x
)
=
∫
sec
2
(
x
)
+
sec
(
x
)
tg
(
x
)
sec
(
x
)
+
tg
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {\sec ^{2}(x)+\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)}{\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)}}dx}
Por outro lado, se:
u
=
sec
(
x
)
+
tg
(
x
)
{\displaystyle u=\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)}
d
u
=
[
sec
(
x
)
tg
(
x
)
+
sec
2
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle du=[\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)+\sec ^{2}(x)]dx}
logo, por substituição, temos:
∫
d
u
u
{\displaystyle \int {\frac {du}{u}}}
u
=
sec
(
x
)
+
tg
(
x
)
{\displaystyle u=\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)}
F
(
x
)
=
ln
|
u
|
{\displaystyle F(x)=\ln |u|}
Portanto:
F
(
x
)
=
ln
|
sec
(
x
)
+
tg
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle F(x)=\ln |\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)|+C}
Cotangente e cossecante
editar
Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função
cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x , a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y . Para verificar essa relação observe o gráfico:
Ficheiro:Trigonofuncs.png
Figura 8
Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1).
Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
1
cotg
(
x
)
=
sen
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\ {\mbox{cotg}}(x)}}={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}}
O que nos revela:
cotg
(
x
)
=
cos
(
x
)
sen
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{cotg}}(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}}
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
1
cosec
(
x
)
=
cos
(
x
)
cotg
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\ {\mbox{cosec}}(x)}}={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{cotg}}(x)}}}
1
cosec
(
x
)
=
cos
(
x
)
sen
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\ {\mbox{cosec}}(x)}}=\cos(x){\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}}
Que define a cossecante como:
cosec
(
x
)
=
1
sen
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{cosec}}(x)={\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}}
Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.
Conseqüentes das definições:
sen
(
x
)
cosec
(
x
)
=
1
{\displaystyle \ {\mbox{sen}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)=1}
cos
(
x
)
sec
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1\,\!}
tg
(
x
)
cotg
(
x
)
=
1
{\displaystyle {\mbox{tg}}(x)\ {\mbox{cotg}}(x)=1}
Seja a função
f
(
x
)
=
cotg
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{cotg}}(x)}
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
sen
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}}
Novamente usamos a regra da derivada da razão :
f
′
(
x
)
=
sen
(
x
)
[
−
sen
(
x
)
]
−
cos
(
x
)
cos
(
x
)
sen
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
−
sen
2
(
x
)
+
c
o
s
2
(
x
)
sen
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)=-{\frac {\ {\mbox{sen}}^{2}(x)+cos^{2}(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
−
1
sen
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)=-{\frac {1}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}}
Portanto:
f
′
(
x
)
=
−
cosec
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)=-\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)}
Seja a função
f
(
x
)
=
cosec
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{cosec}}(x)}
f
(
x
)
=
1
sen
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}}
Novamente usamos a regra da derivada da razão :
f
′
(
x
)
=
sen
(
x
)
⋅
0
−
1
⋅
cos
(
x
)
sen
2
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)\cdot 0-1\cdot \cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}}
f
′
(
x
)
=
−
cos
(
x
)
sen
(
x
)
⋅
1
sen
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)={\frac {-\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}\cdot {\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}}
Portanto:
f
′
(
x
)
=
−
cotg
(
x
)
cosec
(
x
)
{\displaystyle f\ '(x)=-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)}
Seja a função
f
(
x
)
=
cotg
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{cotg}}(x)}
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
sen
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}}
Sua integral é:
F
(
x
)
=
∫
cotg
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int \ {\mbox{cotg}}(x)dx}
F
(
x
)
=
∫
cos
(
x
)
sen
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}dx}
Sendo
u
=
sen
(
x
)
{\displaystyle u=\ {\mbox{sen}}(x)}
d
u
=
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle du=\cos(x)dx}
Logo:
F
(
x
)
=
∫
d
u
u
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {du}{u}}}
E, por substituição:
F
(
x
)
=
ln
|
sen
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle F(x)=\ln |\ {\mbox{sen}}(x)|+C}
Seja a função
f
(
x
)
=
cosec
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{cosec}}(x)}
Sua integral é:
F
(
x
)
=
∫
cosec
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int \ {\mbox{cosec}}(x)dx}
Sendo
u
=
cotg
(
x
)
−
cosec
(
x
)
{\displaystyle u=\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)}
d
u
=
[
cosec
2
(
x
)
−
cotg
(
x
)
cosec
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle du=[\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)]dx}
Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:
F
(
x
)
=
∫
cosec
2
(
x
)
−
cotg
(
x
)
cosec
(
x
)
cotg
(
x
)
−
cosec
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)}{\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)}}dx}
Logo:
F
(
x
)
=
∫
d
u
u
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {du}{u}}}
E, por substituição:
F
(
x
)
=
ln
|
cotg
(
x
)
−
cosec
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle F(x)=\ln |\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)|+C}
editar
O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a
a
r
c
f
u
n
c
(
x
)
{\displaystyle arcfunc(x)}
x .
Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x , para isto cabe uma observação:
O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa:
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
[
0
,
π
]
{\displaystyle \left[0,\pi \right]}
Assim, dizemos que:
y
=
arcsen
(
x
)
∃
∀
x
=
sen
(
y
)
∧
y
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle y=\ {\mbox{arcsen}}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ {\mbox{sen}}(y)\land y\in \ \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
Da mesma forma que:
y
=
arccos
(
x
)
∃
∀
x
=
cos
(
y
)
∧
y
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle y=\ {\mbox{arccos}}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y)\land y\in \ \left[0,\pi \right]}
Derivadas do arcseno e arccosseno
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Seja a função
y
=
arcsen
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{arcsen}}(x)}
x
=
sen
(
y
)
{\displaystyle x=\ {\mbox{sen}}(y)}
podemos operá-la desta forma:
d
x
=
cos
(
y
)
d
y
{\displaystyle dx=\cos(y)dy}
d
x
d
y
=
cos
(
y
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\cos(y)}
Por outro lado:
sen
2
(
y
)
+
cos
2
(
y
)
=
1
{\displaystyle \ {\mbox{sen}}^{2}(y)+\cos ^{2}(y)=1}
cos
(
y
)
=
1
−
sen
2
(
y
)
{\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\ {\mbox{sen}}^{2}(y)}}}
cos
(
y
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}}
O que nos dá:
d
x
d
y
=
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\sqrt {1-x^{2}}}}
Logo:
d
y
d
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Ainda temos que a função
z
=
arccos
(
x
)
{\displaystyle z=\ {\mbox{arccos}}(x)}
x
=
cos
(
z
)
{\displaystyle x=\cos(z)}
podemos operá-la desta forma:
d
x
=
−
sen
(
z
)
d
z
{\displaystyle dx=-\ {\mbox{sen}}(z)dz}
d
x
d
z
=
−
sen
(
z
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dz}}=-\ {\mbox{sen}}(z)}
Por outro lado:
sen
2
(
z
)
+
cos
2
(
z
)
=
1
{\displaystyle \ {\mbox{sen}}^{2}(z)+\cos ^{2}(z)=1}
sen
(
z
)
=
1
−
cos
2
(
z
)
{\displaystyle \ {\mbox{sen}}(z)={\sqrt {1-\cos ^{2}(z)}}}
sen
(
z
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \ {\mbox{sen}}(z)={\sqrt {1-x^{2}}}}
O que nos dá:
d
x
d
z
=
−
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dx}{dz}}=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
Logo:
d
z
d
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Integrais do arcseno e arccosseno
editar
Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração , para uma completa abordagem do tema.
Arctangente e arccotangente
editar
Definimos a função:
y
=
a
r
c
t
g
(
x
)
{\displaystyle y=arctg(x)}
arctangente de x , como a inversa da função:
x
=
t
g
(
y
)
{\displaystyle x=tg(y)}
tangente de y , para todo o intervalo
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
Do mesmo modo podemos definir a função:
z
=
a
r
c
c
o
t
g
(
t
)
{\displaystyle z=arccotg(t)}
arccotangente de t , como a inversa da função:
t
=
c
o
t
g
(
z
)
{\displaystyle t=cotg(z)}
cotangente de z , para todo o intervalo
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
Derivadas da arctangente e arccotangente
editar
Seja a função
y
=
a
r
c
t
g
(
x
)
{\displaystyle y=arctg(x)}
x
=
t
g
(
y
)
{\displaystyle x=tg(y)}
podemos operá-la desta forma:
d
x
=
s
e
c
2
(
y
)
d
y
{\displaystyle dx=sec^{2}(y)dy}
d
x
d
y
=
s
e
c
2
(
y
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=sec^{2}(y)}
Por outro lado:
s
e
c
2
(
y
)
=
1
+
t
g
2
(
y
)
{\displaystyle sec^{2}(y)=1+tg^{2}(y)}
s
e
c
2
(
y
)
=
1
+
x
2
{\displaystyle sec^{2}(y)=1+x^{2}}
O que nos dá:
d
x
d
y
=
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=1+x^{2}}
Logo:
d
y
d
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Ainda temos que a função
z
=
a
r
c
c
o
t
g
(
x
)
{\displaystyle z=arccotg(x)}
x
=
c
o
t
g
(
z
)
{\displaystyle x=cotg(z)}
Por outro lado:
a
r
c
c
o
t
g
(
z
)
=
π
2
−
a
r
c
t
g
(
z
)
{\displaystyle arccotg(z)={\frac {\pi }{2}}-arctg(z)}
O que nos dá:
d
z
d
x
=
0
−
d
[
a
r
c
t
g
(
z
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0-{\frac {d[arctg(z)]}{dx}}}
Logo:
d
z
d
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
Integrais da arctangente e arccotangente
editar
Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração , para uma completa abordagem do tema.
Arcsecante e arccossecante
editar
Definimos a função:
y
=
arcsec
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{arcsec}}(x)}
arcsecante de x , como a inversa da função:
x
=
sec
(
y
)
{\displaystyle x=\sec(y)\,\!}
secante de y , para os intervalos de x :
(
−
∞
,
−
1
]
;
[
1
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )}
A função
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arcsec}}(x)}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arccos}}(x)}
arcsec
(
x
)
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arccos}}\left({\frac {1}{x}}\right)}
Do mesmo modo podemos definir a função:
z
=
arccosec
(
t
)
{\displaystyle z=\ {\mbox{arccosec}}(t)}
arccosecante de t , como a inversa da função:
t
=
cosec
(
z
)
{\displaystyle t=\ {\mbox{cosec}}(z)}
cosecante de y , para os intervalos de x :
(
−
∞
,
−
1
]
;
[
1
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )}
A função
arccosec
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arccosec}}(x)}
arcsen
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arcsen}}(x)}
arcsec
(
x
)
=
arcsen
(
1
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arcsen}}\left({\frac {1}{x}}\right)}
Derivadas da arcsecante e arccossecante
editar
Seja a função:
y
=
arcsec
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{arcsec}}(x)}
que tem correspondência em:
arcsec
(
x
)
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arccos}}\left({\frac {1}{x}}\right)}
Sendo:
d
[
arccos
(
t
)
]
d
x
=
−
1
1
−
t
2
(
d
t
d
x
)
{\displaystyle {\frac {d[\ {\mbox{arccos}}(t)]}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)}
d
y
d
x
=
−
1
1
−
(
1
x
)
2
(
−
1
x
2
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}}}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}
d
y
d
x
=
|
x
|
x
2
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {|x|}{x^{2}{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Portanto:
d
y
d
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
Integrais da arcsecante e arccossecante
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Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração , para uma completa abordagem do tema.
editar
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:
∫
d
x
1
−
x
2
=
arcsen
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\ {\mbox{arcsen}}(x)+C}
∫
d
x
1
+
x
2
=
arctg
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\ {\mbox{arctg}}(x)+C}
∫
d
x
x
x
2
−
1
=
arcsec
(
|
x
|
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\ {\mbox{arcsec}}(|x|)+C}
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C .
A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.
editar
A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole
y
=
1
2
x
{\displaystyle y={\frac {1}{2x}}}
senh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \ {\mbox{senh}}(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:
cosh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
Sendo obtida de forma similar a anterior.
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
editar
Considere a operação:
cosh
2
(
x
)
−
senh
2
(
x
)
{\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}
Da definição temos:
(
e
x
+
e
−
x
2
)
2
−
(
e
x
−
e
−
x
2
)
2
{\displaystyle \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}}
e
2
x
+
e
−
2
x
+
2
e
x
e
−
x
4
−
e
2
x
+
e
−
2
x
−
2
e
x
e
−
x
4
{\displaystyle {\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{4}}-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}}{4}}}
e
2
x
−
e
2
x
+
e
−
2
x
−
e
−
2
x
+
4
4
{\displaystyle {\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{4}}}
4
4
{\displaystyle {\frac {4}{4}}}
logo:
cosh
2
(
x
)
−
senh
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\ {\mbox{senh}}^{2}(x)=1}
editar
Seja a função seno hiperbólico
y
=
senh
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{senh}}(x)}
y
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
sendo:
d
y
d
x
=
1
2
(
e
x
−
(
−
e
−
x
)
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}-(-e^{-x}))}
d
y
d
x
=
1
2
(
e
x
+
e
−
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})}
Portanto:
d
y
d
x
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\cosh(x)}
editar
Seja a função cosseno hiperbólico
y
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle y=\cosh(x)}
y
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
sendo:
d
y
d
x
=
1
2
(
e
x
+
(
−
e
−
x
)
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}+(-e^{-x}))}
d
y
d
x
=
1
2
(
e
x
−
e
−
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})}
Portanto:
d
y
d
x
=
senh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\ {\mbox{senh}}(x)}
editar
A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
∫
(
e
x
−
e
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int \left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)dx}
∫
1
2
e
x
d
x
−
∫
1
2
e
−
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{2}}e^{x}dx-\int {\frac {1}{2}}e^{-x}dx}
1
2
e
x
+
1
2
e
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{x}+{\frac {1}{2}}e^{-x}}
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
Concluimos que:
∫
senh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \ {\mbox{senh}}(x)=\cosh(x)+C}
editar
A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
∫
(
e
x
+
e
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)dx}
∫
1
2
e
x
d
x
+
∫
1
2
e
−
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{2}}e^{x}dx+\int {\frac {1}{2}}e^{-x}dx}
1
2
e
x
−
1
2
e
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{x}-{\frac {1}{2}}e^{-x}}
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
Concluimos que:
∫
cosh
(
x
)
=
senh
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cosh(x)=\ {\mbox{senh}}(x)+C}
editar
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
tgh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle \ {\mbox{tgh}}(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
ou
tgh
(
x
)
=
senh
(
x
)
cosh
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{tgh}}(x)={\frac {\ {\mbox{senh}}(x)}{\cosh(x)}}}
A secante hiperbólica é definida como:
sech
(
x
)
=
2
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle \ {\mbox{sech}}(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
ou
sech
(
x
)
=
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}}
editar
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
1
−
tgh
2
(
x
)
{\displaystyle 1-\ {\mbox{tgh}}^{2}(x)}
1
−
(
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
)
2
{\displaystyle 1-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\right)^{2}}
1
−
e
2
x
+
e
−
2
x
−
2
e
2
x
+
e
−
2
x
+
2
{\displaystyle 1-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2}{e^{2x}+e^{-2x}+2}}}
e
2
x
−
e
2
x
+
e
−
2
x
−
e
−
2
x
+
4
e
2
x
+
e
−
2
x
+
2
{\displaystyle {\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{e^{2x}+e^{-2x}+2}}}
4
(
e
x
+
e
−
x
)
2
{\displaystyle {\frac {4}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}}
1
cosh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}}
Portanto:
1
−
tgh
2
(
x
)
=
sech
2
(
x
)
{\displaystyle 1-\ {\mbox{tgh}}^{2}(x)=\ {\mbox{sech}}^{2}(x)}
editar
Seja a função
y
=
tgh
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{tgh}}(x)}
y
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
d
y
d
x
=
(
e
x
+
e
−
x
)
(
e
x
+
e
−
x
)
−
(
e
x
−
e
−
x
)
(
e
x
−
e
−
x
)
(
e
x
+
e
−
x
)
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\right)-\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}}
d
y
d
x
=
(
cosh
2
(
x
)
)
−
(
senh
2
(
x
)
)
(
cosh
2
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(\cosh ^{2}(x)\right)-\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)}{\left(\cosh ^{2}(x)\right)}}}
d
y
d
x
=
1
cosh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}}
Portanto:
d
y
d
x
=
sech
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\ {\mbox{sech}}^{2}(x)}
editar
Seja a função
y
=
sech
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{sech}}(x)}
y
=
2
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle y={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
d
y
d
x
=
−
2
(
e
x
−
e
−
x
)
(
e
x
+
e
−
x
)
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}}
d
y
d
x
=
−
2
e
x
+
e
−
x
⋅
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}\cdot {\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
e finalmente:
d
y
d
x
=
−
sech
(
x
)
tgh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\ {\mbox{sech}}(x)\ {\mbox{tgh}}(x)}
editar
Seja a função
f
(
x
)
=
tgh
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{tgh}}(x)}
F
(
x
)
=
∫
senh
(
x
)
cosh
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{senh}}(x)}{\cosh(x)}}dx}
Se fizermos:
u
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle u=\cosh(x)}
d
u
=
senh
(
x
)
d
x
{\displaystyle du=\ {\mbox{senh}}(x)dx}
verificamos:
F
(
x
)
=
∫
d
u
u
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {du}{u}}}
F
(
x
)
=
ln
|
u
|
{\displaystyle F(x)=\ln |u|}
e finalmente:
F
(
x
)
=
ln
|
cosh
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle F(x)=\ln |\cosh(x)|+C\,\!}
editar
Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração , para uma completa abordagem do tema.
editar
A cotangente hiperbólica é definida como:
cotgh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \ {\mbox{cotgh}}(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
ou
cotgh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
senh
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{cotgh}}(x)={\frac {\cosh(x)}{\ {\mbox{senh}}(x)}}}
A cosecante hiperbólica é definida como:
cosech
(
x
)
=
2
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \ {\mbox{cosech}}(x)={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
ou
cosech
(
x
)
=
1
senh
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{cosech}}(x)={\frac {1}{\ {\mbox{senh}}(x)}}}
editar
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
1
−
cotgh
2
(
x
)
{\displaystyle 1-\ {\mbox{cotgh}}^{2}(x)}
1
−
(
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
)
2
{\displaystyle 1-\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\right)^{2}}
1
−
e
2
x
+
e
−
2
x
+
2
e
2
x
+
e
−
2
x
−
2
{\displaystyle 1-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2}{e^{2x}+e^{-2x}-2}}}
e
2
x
−
e
2
x
+
e
−
2
x
−
e
−
2
x
−
4
e
2
x
+
e
−
2
x
−
2
{\displaystyle {\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}-4}{e^{2x}+e^{-2x}-2}}}
−
4
(
e
x
−
e
−
x
)
2
{\displaystyle -{\frac {4}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}}
−
1
senh
2
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {1}{\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}}}
Portanto:
1
−
cotgh
2
(
x
)
=
cosech
2
(
x
)
{\displaystyle 1-\ {\mbox{cotgh}}^{2}(x)=\ {\mbox{cosech}}^{2}(x)}
editar
Seja a função
y
=
cotgh
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{cotgh}}(x)}
y
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
d
y
d
x
=
(
e
x
−
e
−
x
)
(
e
x
−
e
−
x
)
−
(
e
x
+
e
−
x
)
(
e
x
+
e
−
x
)
(
e
x
−
e
−
x
)
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{x}-e^{-x}\right)-\left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}}
d
y
d
x
=
(
senh
2
(
x
)
)
−
(
c
o
s
h
2
(
x
)
)
(
senh
2
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)-\left(cosh^{2}(x)\right)}{\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)}}}
d
y
d
x
=
−
1
senh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}}}
Portanto:
d
y
d
x
=
−
cosech
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\ {\mbox{cosech}}^{2}(x)}
editar
Seja a função
y
=
cosech
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{cosech}}(x)}
y
=
2
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle y={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
d
y
d
x
=
−
2
(
e
x
+
e
−
x
)
(
e
x
−
e
−
x
)
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}}
d
y
d
x
=
−
2
e
x
−
e
−
x
⋅
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}\cdot {\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
e finalmente:
d
y
d
x
=
−
cosech
(
x
)
cotgh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\ {\mbox{cosech}}(x)\ {\mbox{cotgh}}(x)}
editar
Seja a função
f
(
x
)
=
cotgh
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\ {\mbox{cotgh}}(x)}
F
(
x
)
=
∫
cosh
(
x
)
senh
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {\cosh(x)}{\ {\mbox{senh}}(x)}}dx}
Se fizermos:
u
=
senh
(
x
)
{\displaystyle u=\ {\mbox{senh}}(x)}
d
u
=
cosh
(
x
)
d
x
{\displaystyle du=\cosh(x)dx}
verificamos:
F
(
x
)
=
∫
d
u
u
{\displaystyle F(x)=\int {\frac {du}{u}}}
F
(
x
)
=
ln
|
u
|
{\displaystyle F(x)=\ln |u|}
e finalmente:
F
(
x
)
=
ln
|
senh
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle F(x)=\ln |\ {\mbox{senh}}(x)|+C}
editar
Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração , para uma completa abordagem do tema.
editar
As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.
editar
As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:
y
=
f
u
n
c
h
(
x
)
{\displaystyle y=funch(x)}
Para a forma:
x
=
a
r
g
f
u
n
c
h
(
y
)
{\displaystyle x=argfunch(y)}
Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo
s
e
n
h
(
x
)
{\displaystyle senh(x)}
É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de arg funch(x)
Agora consideremos a função
t
=
senh
(
x
)
{\displaystyle t=\ {\mbox{senh}}(x)}
t
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle t={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
Podemos fazer
e
x
=
u
{\displaystyle e^{x}=u}
t
=
u
−
u
−
1
2
{\displaystyle t={\frac {u-u^{-1}}{2}}}
O que resulta na equação:
u
2
−
2
t
u
−
1
=
0
{\displaystyle u^{2}-2tu-1=0}
cujas raízes são:
u
=
t
±
t
2
+
1
{\displaystyle u=t\pm {\sqrt {t^{2}+1}}}
Podemos apenas admitir:
u
>
0
{\displaystyle u>0}
e
x
=
t
+
t
2
+
1
{\displaystyle e^{x}=t+{\sqrt {t^{2}+1}}}
Substituindo as variáveis x por y e t por x , temos a inversa de
s
e
n
h
(
x
)
{\displaystyle senh(x)}
argsenh
(
x
)
=
ln
|
x
+
x
2
+
1
|
{\displaystyle \ {\mbox{argsenh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|}
No caso de
t
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle t=\cosh(x)\,\!}
t
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle t={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
Podemos fazer
e
x
=
u
{\displaystyle e^{x}=u}
t
=
u
+
u
−
1
2
{\displaystyle t={\frac {u+u^{-1}}{2}}}
O que resulta na equação:
u
2
−
2
t
u
+
1
=
0
{\displaystyle u^{2}-2tu+1=0}
cujas raízes são:
u
=
t
±
t
2
−
1
{\displaystyle u=t\pm {\sqrt {t^{2}-1}}}
Podemos apenas admitir:
u
>
0
{\displaystyle u>0}
e
x
=
t
+
t
2
−
1
{\displaystyle e^{x}=t+{\sqrt {t^{2}-1}}}
Substituindo as variáveis x por y e t por x , temos a inversa de
c
o
s
h
(
x
)
{\displaystyle cosh(x)}
argcosh
(
x
)
=
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
{\displaystyle \ {\mbox{argcosh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
editar
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
y
=
argsenh
(
x
)
=
ln
|
x
+
x
2
+
1
|
{\displaystyle y=\ {\mbox{argsenh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|}
de onde deduzimos:
d
y
d
x
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
1
+
x
x
2
+
1
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}
d
y
d
x
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
x
+
x
2
+
1
x
2
+
1
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}
resultando:
d
y
d
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
E para
y
=
argcosh
(
x
)
=
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
{\displaystyle y=\ {\mbox{argcosh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|}
de onde deduzimos:
d
y
d
x
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
1
+
x
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot \left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)}
d
y
d
x
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
x
+
x
2
−
1
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)}
e finalmente:
d
y
d
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
editar
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração , proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
Considerando
t
=
tgh
(
x
)
{\displaystyle t=\ {\mbox{tgh}}(x)}
t
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle t={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
se
u
=
e
x
{\displaystyle u=e^{x}}
t
=
u
−
u
−
1
u
+
u
−
1
{\displaystyle t={\frac {u-u^{-1}}{u+u^{-1}}}}
o que resulta na equação:
(
t
−
1
)
u
2
+
t
+
1
=
0
{\displaystyle (t-1)u^{2}+t+1=0}
Cujas raizes são:
u
=
±
1
+
t
1
−
t
{\displaystyle u=\pm {\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}}
Onde apenas podemos admitir
u
>
0
{\displaystyle u>0}
t
<
1
{\displaystyle t<1}
e
x
=
1
+
t
1
−
t
{\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}}
Substituindo x por y e t por x :
y
=
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle y=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}}
Que é a inversa da
tgh
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{tgh}}(x)}
argtgh
(
x
)
=
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle \ {\mbox{argtgh}}(x)=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
Ou,
argtgh
(
x
)
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle \ {\mbox{argtgh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
Considerando
t
=
sech
(
x
)
{\displaystyle t=\ {\mbox{sech}}(x)}
t
=
2
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle t={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
se
u
=
e
x
{\displaystyle u=e^{x}}
t
=
2
u
+
u
−
1
{\displaystyle t={\frac {2}{u+u^{-1}}}}
o que resulta na equação:
t
u
2
−
2
u
+
t
=
0
{\displaystyle tu^{2}-2u+t=0}
Cujas raízes são:
u
=
1
±
1
−
t
2
t
{\displaystyle u={\frac {1\pm {\sqrt {1-t^{2}}}}{t}}}
Onde apenas podemos admitir
u
>
0
{\displaystyle u>0}
0
<
t
<
1
{\displaystyle 0<t<1}
e
x
=
1
−
1
−
t
2
t
{\displaystyle e^{x}={\frac {1-{\sqrt {1-t^{2}}}}{t}}}
Substituindo x por y e t por x :
y
=
ln
|
1
−
1
−
x
2
x
|
{\displaystyle y=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|}
Que é a inversa da
s
e
c
h
(
x
)
{\displaystyle sech(x)}
argsech
(
x
)
=
ln
|
1
−
1
−
x
2
x
|
{\displaystyle \ {\mbox{argsech}}(x)=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|}
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
Derivadas de argtgh e argsech
editar
Seja
y
=
argtgh
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{argtgh}}(x)}
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
Deduzimos que sua derivada é:
d
y
d
x
=
d
[
argtgh
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argtgh}}(x)]}{dx}}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
d
y
d
x
=
1
2
(
1
−
x
1
+
x
)
[
1
−
x
−
(
1
+
x
)
(
−
1
)
(
1
−
x
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {1-x-(1+x)(-1)}{(1-x)^{2}}}\right]}
d
y
d
x
=
1
2
(
1
−
x
1
+
x
)
[
2
(
1
−
x
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {2}{(1-x)^{2}}}\right]}
d
y
d
x
=
1
2
[
2
(
1
+
x
)
(
1
−
x
)
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\right]}
e, finalmente:
d
y
d
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Seja
y
=
argsech
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{argsech}}(x)}
=
ln
|
1
−
1
−
x
2
x
|
{\displaystyle =\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|}
Deduzimos que sua derivada é:
d
y
d
x
=
d
[
argsenh
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argsenh}}(x)]}{dx}}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
d
y
d
x
=
x
1
−
1
−
x
2
[
x
−
(
−
2
x
)
2
1
−
x
2
−
(
1
−
1
−
x
2
)
x
2
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-(-2x)}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]}
d
y
d
x
=
x
1
−
1
−
x
2
(
x
2
−
1
−
x
2
+
1
−
x
2
x
2
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left({\frac {x^{2}-{\sqrt {1-x^{2}}}+1-x^{2}}{x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)}
d
y
d
x
=
x
1
−
1
−
x
2
(
1
−
1
−
x
2
x
2
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)}
e, finalmente:
d
y
d
x
=
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
Integrais de argtgh e argsech
editar
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração , proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
Considerando
t
=
cotgh
(
x
)
{\displaystyle t=\ {\mbox{cotgh}}(x)}
t
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle t={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
se
u
=
e
x
{\displaystyle u=e^{x}}
t
=
u
+
u
−
1
u
−
u
−
1
{\displaystyle t={\frac {u+u^{-1}}{u-u^{-1}}}}
o que resulta na equação:
(
1
−
t
)
u
2
−
t
−
1
=
0
{\displaystyle (1-t)u^{2}-t-1=0}
Cujas raizes são:
u
=
±
t
+
1
t
−
1
{\displaystyle u=\pm {\sqrt {\frac {t+1}{t-1}}}}
Onde apenas podemos admitir
u
>
0
{\displaystyle u>0}
t
<
1
{\displaystyle t<1}
e
x
=
t
+
1
t
−
1
{\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {t+1}{t-1}}}}
Substituindo x por y e t por x :
y
=
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle y=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}}
Que é a inversa da
cotgh
(
x
)
{\displaystyle \ {\mbox{cotgh}}(x)}
argcotgh
(
x
)
=
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle \ {\mbox{argcotgh}}(x)=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
Ou,
argcotgh
(
x
)
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle \ {\mbox{argcotgh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
Considerando
t
=
cosech
(
x
)
{\displaystyle t=\ {\mbox{cosech}}(x)}
t
=
2
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle t={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
se
u
=
e
x
{\displaystyle u=e^{x}}
t
=
2
u
−
u
−
1
{\displaystyle t={\frac {2}{u-u^{-1}}}}
o que resulta na equação:
t
u
2
−
2
u
−
t
=
0
{\displaystyle tu^{2}-2u-t=0}
Cujas raízes são:
u
=
1
±
1
+
t
2
t
{\displaystyle u={\frac {1\pm {\sqrt {1+t^{2}}}}{t}}}
Onde apenas podemos admitir
u
>
0
{\displaystyle u>0}
e
x
=
1
−
1
+
t
2
t
{\displaystyle e^{x}={\frac {1-{\sqrt {1+t^{2}}}}{t}}}
Substituindo x por y e t por x :
y
=
ln
|
1
−
1
+
x
2
x
|
{\displaystyle y=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|}
Que é a inversa da
c
o
s
e
c
h
(
x
)
{\displaystyle cosech(x)}
argcosech
(
x
)
=
ln
|
1
−
1
+
x
2
x
|
{\displaystyle \ {\mbox{argcosech}}(x)=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|}
Derivadas de argcotgh e argcosech
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Seja
y
=
argcotgh
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{argcotgh}}(x)}
=
1
2
ln
x
−
1
x
+
1
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x-1}{x+1}}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
Deduzimos que sua derivada é:
d
y
d
x
=
d
[
argcotgh
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argcotgh}}(x)]}{dx}}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
d
y
d
x
=
1
2
(
x
+
1
x
−
1
)
[
x
+
1
−
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}}\right]}
d
y
d
x
=
1
2
(
x
+
1
x
−
1
)
[
2
(
x
+
1
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {2}{(x+1)^{2}}}\right]}
d
y
d
x
=
1
2
[
2
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(x-1)(x+1)}}\right]}
e, finalmente:
d
y
d
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Seja
y
=
argcosech
(
x
)
{\displaystyle y=\ {\mbox{argcosech}}(x)}
=
ln
|
1
−
1
+
x
2
x
|
{\displaystyle =\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|}
Deduzimos que sua derivada é:
d
y
d
x
=
d
[
argcosh
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argcosh}}(x)]}{dx}}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
d
y
d
x
=
x
1
−
1
+
x
2
[
x
−
2
x
2
1
+
x
2
−
(
1
−
1
+
x
2
)
x
2
]
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-2x}{2{\sqrt {1+x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]}
d
y
d
x
=
x
1
−
1
+
x
2
(
−
x
2
−
1
+
x
2
+
1
+
x
2
x
2
1
+
x
2
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left({\frac {-x^{2}-{\sqrt {1+x^{2}}}+1+x^{2}}{x^{2}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)}
d
y
d
x
=
x
1
−
1
+
x
2
(
1
−
1
+
x
2
x
2
1
+
x
2
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)}
e, finalmente:
d
y
d
x
=
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
Integrais de argcotgh e argcosech
editar
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração , proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
![{\displaystyle [\cos(\alpha ),\ {\mbox{sen}}(\alpha )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d470bb7a97f7e5f282d6ba68de12784e2fa5fde0)
![{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e957d888c735ab71f69d1522adc33ce71156295)
![{\displaystyle du=[\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)+\sec ^{2}(x)]dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd134951974266ec76a2505f85640327550129a)
![{\displaystyle f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e7ab0d4a5a78056f1e90d17f9c8be4f14dfef8)
![{\displaystyle du=[\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)]dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14464a2da9e8f7c23a2f7c1062715f8c3a492ce9)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![{\displaystyle \left[0,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e34615383b8ffe6f079cfd094c2b274fab51a4)
![{\displaystyle y=\ {\mbox{arcsen}}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ {\mbox{sen}}(y)\land y\in \ \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751268dc9cfdf45fcaafd9f8c812264a5363d2a0)
![{\displaystyle y=\ {\mbox{arccos}}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y)\land y\in \ \left[0,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfb7219c6b1e33f86f4382cb59d6fcc9b2e9ab7)
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0-{\frac {d[arctg(z)]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa86f84ede174b7c7dbf65932eabef4a7219dfd)
![{\displaystyle (-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f8f1d101f6e08597b0c080fd3682ae6804655f)
![{\displaystyle {\frac {d[\ {\mbox{arccos}}(t)]}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f21199beb34b4f2aa0fb569da320de53e59ea8)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argtgh}}(x)]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49016992d4c0575ecaa43557ce73dc6393b9ac1)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {1-x-(1+x)(-1)}{(1-x)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afef3db735e964ead4ef283068f1954c0b180d65)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {2}{(1-x)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6022458c1510b006f68794b47eea4b6bd0d1a77)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff0b6d491a3f3ba8f125c0eb46c562a35585a47)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argsenh}}(x)]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda5db26d6b8bb31008ac7932698af138058b439)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-(-2x)}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e22be4ba8703e027fa95fc5b396fdc1b6e949b3)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argcotgh}}(x)]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23aded978478393f1c847a6cccfb15e1b563ac21)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180f3299ef85e235defa1014a1365bdbb74626a4)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {2}{(x+1)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4b3e8504fbfbff2e61d83ae1f48510dcdfcaa4)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(x-1)(x+1)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0b52fd905f5c9fb64d1784c74f538c9294d190)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argcosh}}(x)]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6088a737f776c3bcb23c8f696d214f8d4f47a60d)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-2x}{2{\sqrt {1+x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f89756a910861a036dbf984564c11202735a9b8)
