Introdução aos Circuitos Elétricos/Representação dos Números Complexos

Representação dos Números Complexos

Os números complexos podem ser definidos de diversas formas representando as mais diversas grandezas físicas e entidades matemáticas.

Os números complexos foram criados, a princípio, para facilitar os cálculos de equações que possuíam raízes quadradas de números negativos. Verificou-se que poderiam ser representados de outras formas (matricialmente, como um ponto num plano cartesiano, como um vetor etc.) e assim, realizar diversas operações nas mais variadas aplicações. Mas, para melhor entendermos o que isto significa, vamos descrever as três formas mais usuais, nesta disciplina, de representação: a algébrica (ou cartesiana), a polar e a trigonométrica. Cada uma delas apresenta peculiaridades que facilitarão determinados cálculos e associações em circuitos de corrente alternada.

Forma Cartesiana ou Forma Algébrica

Como descrita no capítulo anterior, é aquela que se utiliza da unidade imaginária $\!j$ e pode ser escrita como:

$z=a+j\cdot b$

Esta forma, pode ser associada/representada por um ponto $\!z(a,b)$ num plano cartesiano:

Onde $\!Im$ é o eixo imaginário e $\!R$ é o eixo real.

É a forma cartesiana (ou algébrica) que utilizaremos para fazer somas e subtrações de números complexos.

Exemplos de representação num plano cartesiano

Exemplo 1

$z_{1}=12-j\cdot 6$

Exemplo 2

$\!z_{2}=7$

Exemplo 3

$z_{3}=j\cdot 6,5$

Forma Polar

É a representação formada, num plano cartesiano, pelo comprimento $\!Z$ do segmento de reta da origem dos eixos até o ponto $\!z(a,b)$, e pelo ângulo $\!\Phi$ entre este segmento de reta e o eixo das abscissas (eixo parte real do número complexo).

Observações:

• $\!\Phi$ será positivo se se medir o ângulo no sentido anti-horário em relação ao eixo R; caso contrário, $\!\Phi$ será negativo se medido no sentido horário.
• $\!Z$ é o módulo do segmento de reta ${\overline {Oz}}$, ou seja, a distância entre a origem dos eixos $\!O(0,0)$ e o ponto $\!z(a,b)$.

Utilizaremos a seguinte notação para a forma polar de um número complexo: ${\begin{array}{c}Z\\\end{array}}{\begin{array}{|c}\Phi \\\hline \end{array}}$

Esta é a forma que utilizaremos para fazer multiplicações e divisões de números complexos.

Exemplos de representação num plano cartesiano

Exemplo 1

${\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}45^{o}\\\hline \end{array}}$

Exemplo 2

${\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}\pi \\\hline \end{array}}$

Exemplo 3

${\begin{array}{c}8\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-45^{o}\\\hline \end{array}}$

Forma Trigonométrica

Podemos observar um triângulo retângulo na figura abaixo:

Temos que:

$\sin \Phi ={\frac {b}{Z}}\Rightarrow b=Z\cdot \sin \Phi$

$\cos \Phi ={\frac {a}{Z}}\Rightarrow a=Z\cdot \cos \Phi$

A forma trigonométrica é representada pela expressão $z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )$ que, através da substituição dos coeficientes $\!a$ e $\!b$, transforma a forma polar em cartesiana (algébrica). Pois, temos:

${\begin{cases}a=Z\cdot \cos \Phi \\b=Z\cdot \sin \Phi \\z=a+j\cdot b\end{cases}}\Rightarrow z=Z\cdot \cos \Phi +j\cdot Z\cdot \sin \Phi \Rightarrow z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )$

Lista A de Exercícios

Exercício 1

Represente os seguintes números no plano cartesiano:

a) $z_{1}=-12+j\cdot 6$

b) $z_{2}=-j\cdot 4$

c) $z_{3}=-14-j\cdot 6$

d) $\!z_{4}=10$

e) $z_{5}={\begin{array}{c}5\\\end{array}}{\begin{array}{|c}30^{o}\\\hline \end{array}}$

f) $z_{6}={\begin{array}{c}0\\\end{array}}{\begin{array}{|c}45^{o}\\\hline \end{array}}$

g) $z_{7}={\begin{array}{c}8\\\end{array}}{\begin{array}{|c}{\frac {\pi }{2}}\\\hline \end{array}}$

h) $z_{8}={\begin{array}{c}7\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-45^{o}\\\hline \end{array}}$

i) $z_{9}={\begin{array}{c}7\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-\pi \\\hline \end{array}}$