Introdução aos Circuitos Elétricos/Transformações

Transformações com Números Complexos

Transformação da Forma Algébrica em Polar

Na representação acima, observamos um triângulo retângulo. Então, através do Teorema de Pitágoras, temos:

$Z^{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow Z={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

E, através do arco-tangente de ${\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}$, achamos o ângulo $\!\Phi$:

$\tan \Phi ={\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}\Rightarrow \Phi =\arctan {\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}$

O valor de $\!\Phi$ deve ser ajustado de acordo com os sinais de a e de b (que indicam o quadrante, no sistema cartesiano, em que se encontra o segmento Z já que o arco-tangente calculado mostra sempre o ângulo no primeiro quadrante).

Resumindo: para transformarmos $\!z=a+j\cdot b$ em ${\begin{array}{c}Z\\\end{array}}{\begin{array}{|c}\Phi \\\hline \end{array}}$ usamos as seguintes fórmulas:

$Z={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$\Phi =\arctan {\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}$

E achamos o quadrante do ângulo, confirmando o valor de $\!\Phi$.

Exercícios Resolvidos

A FAZER

Transformação da Forma Polar em Algébrica

Para transformarmos ${\begin{array}{c}Z\\\end{array}}{\begin{array}{|c}\Phi \\\hline \end{array}}$ (forma polar) em $\!z=a+j\cdot b$ (forma algébrica ou cartesiana) usamos a forma trigonométrica de um número complexo, como explicado na página anterior:

$z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )$

Exercícios Resolvidos

Transformar os seguintes números complexos para a forma algébrica:

a) $z_{1}={\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}45^{o}\\\hline \end{array}}$

$z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{1}=12\cdot (\cos 45^{o}+j\cdot \sin 45^{o})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{1}=12\cdot ({\frac {\sqrt {2}}{2}}+j\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{1}=6\cdot {\sqrt {2}}+j\cdot 6\cdot {\sqrt {2}}$

b) $z_{2}={\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-315^{o}\\\hline \end{array}}$

$\Rightarrow z_{2}=12\cdot (\cos -315^{o}+j\cdot \sin -315^{o})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{2}=12\cdot ({\frac {\sqrt {2}}{2}}+j\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{2}=6\cdot {\sqrt {2}}+j\cdot 6\cdot {\sqrt {2}}$

c) $z_{3}={\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-45^{o}\\\hline \end{array}}$

$z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{3}=12\cdot (\cos -45^{o}+j\cdot \sin -45^{o})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{3}=12\cdot ({\frac {\sqrt {2}}{2}}+j\cdot {\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_{3}=6\cdot {\sqrt {2}}-j\cdot 6\cdot {\sqrt {2}}$

d) $z_{4}={\begin{array}{c}20\\\end{array}}{\begin{array}{|c}90^{o}\\\hline \end{array}}$

A FAZER

FAZER COMPROVAÇÃO GRÁFICA

e) $z_{5}={\begin{array}{c}16\\\end{array}}{\begin{array}{|c}225^{o}\\\hline \end{array}}$

A FAZER

FAZER COMPROVAÇÃO GRÁFICA

Lista B de Exercícios

Exercício 1

Transforme para a forma polar:

A FAZER

Exercício 2

Transforme para a forma cartesiana (algébrica):

a) $z_{1}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}0^{o}\\\hline \end{array}}$

b) $z_{2}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}90^{o}\\\hline \end{array}}$

c) $z_{3}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}180^{o}\\\hline \end{array}}$

d) $z_{4}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}270^{o}\\\hline \end{array}}$

e) $z_{5}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-90^{o}\\\hline \end{array}}$

f) $z_{6}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}45^{o}\\\hline \end{array}}$

g) $z_{7}={\begin{array}{c}20\\\end{array}}{\begin{array}{|c}{\frac {\pi }{4}}\\\hline \end{array}}$

h) $z_{8}={\begin{array}{c}15\\\end{array}}{\begin{array}{|c}{\frac {5\cdot \pi }{4}}\\\hline \end{array}}$