Introdução aos Conceitos de Filosofia/Lição IV

Raciocínios dedutivos, indutivos e abdutivos

Indução Matemática

Quando o grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ainda era um jovem estudante do primário, seu professor passou uma árdua tarefa para a classe, somar todos os números Naturais de 1 a 100, ou seja, 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100.

Contudo, Gauss retornou rapidamente com a resposta, 5050. Seu raciocínio foi o seguinte:

1+100=101

2+99=101

3+98=101

...

Ou seja, a somatória de todos os números Naturais de 1 a 100 é o mesmo que 50 adições cujo resultado é 101. Portanto:

$1+2+3+...+98+99+100=50\times 101=5050$

Não é necessário ser um gênio como Gauss para passar a aplicar este princípio a outras somatórias de números Naturais consecutivos começando por 1. Por exemplo:

$1+2+3++4+5+6+7+8+9+10=5\times 11=55$

$1+2+3+...+998+999+1000=500\times 1001=500500$

Podemos generalizar isto assim:

$1+2+3+...+\left(n-1\right)+n=\left(1+n\right)\times {\frac {n}{2}}$

Ou seja, toda somatória de números Naturais consecutivos de 1 a n resulta em n+1 vezes a metade de n.

Mas como provar isto com todo o rigor necessário para a Matemática?

Podemos fazê-lo por meio da Indução Infinita.

Indução Infinita consiste em um método de prova no qual, dado um conjunto infinito - neste caso, $\mathbb {N} ^{+}$ - dada um propriedade $P\,\!$, se $P\,\!$ for verificada para o primeiro elemento de do conjunto, e se for verificado que se $P\,\!$ vale para o k-ésimo elemento, então vale para o k-ésimo-primeiro, está provado que $P\,\!$ vale para todos os elementos do conjunto em questão.

Em termos mais simples, se verificada a propriedade $P\,\!$ no primeiro elemento do conjunto, e se da hipótese que um elemento qualquer do conjunto verifica $P\,\!$ for derivado que o sucessor deste também verifica $P\,\!$, está provado que todos os elementos verificam $P\,\!$.

Exemplo:

• Tese:

$1+2+3+...+n=\left(1+n\right)\times {\frac {n}{2}}$

Para $n=1\,\!$

$1=\left(1+1\right)\times {\frac {1}{2}}$

$1={\frac {2}{2}}\,\!$

$1=1\,\!$

• Hipótese:

$1+2+3+...+k=\left(1+k\right)\times {\frac {k}{2}}$

$1+2+3+...+k+\left(k+1\right)=\left(1+k\right)\times {\frac {k}{2}}+\left(k+1\right)$

$={\frac {k^{2}+k}{2}}+\left(k+1\right)$

$=k{\frac {k+1}{2}}+{\frac {2\left(k+1\right)}{2}}$

$=k+2\times {\frac {\left(k+1\right)}{2}}$

$=\left(1+\left(k+1\right)\right)\times {\frac {\left(k+1\right)}{2}}$

O que prova a tese.