Lógica Matemática/Cálculo Proposicional
Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .
Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Como exemplo de proposições temos:
- A terra é redonda.
- O dado é quadrado.
As proposições, de acordo com a lógica clássica, devem observar os seguintes princípios (entre outros):
- Príncipio da não-contradição: uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo.
- Príncipio do terceiro excluído: uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.
Símbolos
editarVariáveis proposicionais
editarDentro da lógica proposicional cada proposição é considerado um elemento simples (átomo), representado com uma letra minúscula a partir do p. (Por exemplo, p, q e outros).
Conectivos lógicos
editarAs fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
Valor lógico | Símbolo | Expressão | Observação |
---|---|---|---|
Negação | , ¬ , ~ ou ' | não, é falso, não é verdade que | inverte o valor da proposição |
Conjunção | e, mas , também, além disso | nenhuma | |
Disjunção | ou | não confundir com o ou exclusivo | |
Condicional | se...então, implica, logo, somente se | nenhuma | |
Bi-condicional | ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ... | nenhuma |
Uma cadeia que forma uma expressão válida (isto é, que ofereça um valor F ou V de retorno) é chamada de fórmula bem-formulada (fbf).
Tabelas-verdades
editarTabelas-verdades são matrizes de V ou F que uma proposição assume de acordo com o conectivo lógico associado a ele. Utilizaremos a letra p para representar o uso de conectivos sobre apenas uma proposição, e p e q quando o conectivo age sobre duas proposições.
Conjunção
editarp | q | p q |
---|---|---|
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Disjunção
editarp | q | p q |
---|---|---|
V | V | v |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Condicional
editarp | q | p q |
---|---|---|
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
Bi-condicional
editarp | q | p q |
---|---|---|
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
Disjunção-exclusiva
editarp | q | p q |
---|---|---|
V | V | F |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Proposições compostas
editarUma proposição composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula. Ex: P: p q ou P (p,q):p,q. Para n proposições simples com possibilidades V e F, considera-se que a tabela-verdade que os combina terá linhas.
- Tautologia
Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Verdadeiras (V).
- Contradição
Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Falsas (F).
- Contingência
Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.
Implicação
editarUma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira. Ou seja, dadas duas proposições P e Q, P implica Q todas as vezes que ambos os lados aparecerem Ve.
p | q | (P) p q | (Q)p q | (R) p q |
---|---|---|---|---|
V | V | V | V | V |
V | F | F | V | F |
F | V | F | V | F |
F | F | F | F | V |
Equivalência lógica
editarUma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. A equivalência lógica é representada por ( )...,,
Resumo
editar- Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .
- Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).Uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo e uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.
- As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
- Uma Proposição Composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula.
- Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são V.
- Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são F.
- Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.
- Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira.
- Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas.
Bibliografia
editar- Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
- Introduction to Mathematical Logic
- Elements of Propositional Calculus
- forall x: an introduction to formal logic, por P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.