Introdução à Matemática Financeira/Porcentagem

Proporções e Razões

Dizemos que há uma proporção entre duas grandezas quando uma relação linear relaciona as mesmas, de forma que, por exemplo, dobrando o valor de uma das grandezas, a outra é dobrada (proporção ou razão direta) ou é reduzida à metade (proporção ou razão inversa). De uma forma genérica, dizemos que o produto de uma grandeza pela constante $k$ irá multiplicar a outra grandeza pela mesma constante $k$ (razão ou proporção direta) ou então pelo seu inverso $1/k$ (razão ou proporção inversa).

Ex.: A relação entre a força "peso" de um corpo e a sua massa é dada pela constante $g=9,82m/s^{2}$. Escrevemos esta relação na equação $P=m*g$. Se a massa do corpo for de 1kg, o peso será de 9,82N. Aumentando a massa para 2kg, aumenta o peso para 19,64.

Ex.2: No ciclo do ouro em Minas Gerais, na história, sabemos que o imposto sobre o ouro, ou derrama, era de $1/5$, também chamado de quinto. Para uma produção de 10 onças de ouro, o imposto era de 2 onças. Se a produção aumentasse para 30 onças, o valor do imposto a pagar passava a 6 onças.

A porcentagem é uma razão ou proporção, em que uma das grandezas é o número $100$. No exemplo 2, acima, obtemos a porcentagem ou razão percentual multiplicando o valor da constante por 100, resultando 20. Para destacar que se trata de uma porcentagem, acrescentamos o símbolo '%': $20\%$. Para calcular uma porcentagem, multiplicamos o valor do qual queremos extrair a porcentagem pelo valor da porcentagem, e divimos por 100.

Ex.: O número de brasileiros responsáveis por um lar soma 44.795.101 pessoas, das quais 24,9% são mulheres. Para conhecer o número de mulheres que são responsáveis por um lar no Brasil, basta multiplicar o total pelo percentual, e dividir por 100%:

${\frac {44.795.101\times 24,9\%}{100\%}}=11.153.980$

(o valor real é de 11.160.635, o que indica que a porcentagem fornecida pelo IBGE é arredondada)

No caso do valor do imposto chamado "Quinto", a taxa percentual é obtida transformando a taxa unitária ($1/5$) em porcentagem. Basta multiplicar a taxa unitária por $100\%$:

${\frac {1}{5}}\times 100\%=20\%$

Outras taxas ou razões são expressas, normalmente, em porcentagem, como a taxa de crescimento de uma população, a taxa inflação, a taxa de crescimento do PIB, a relação entre elementos de uma população, etc.

Juro e Desconto

O juro ou o desconto são quantias que são relacionadas a um valor chamado de principal ou de montante, e o relacionamento é expresso em uma taxa percentual. Para calcular o valor de um Juro obtido pela aplicação de uma taxa de juro percentual, precisamos primeiro obter a taxa unitária, e multiplicar ela pelo valor do principal ou montante:

$J=C\times i$

Onde $J$ é o juro, $C$ o capital ou principal, e $i$ a taxa de juro unitária. O desconto é calculado da mesma forma, usando uma taxa de desconto unitária:

$D=C\times d$