Permutações e combinações

Permutações

Permutar elementos significa trocá-los de posição. A maneira de calcular as possibilidades de fazer isso, vai depender da natureza dos elementos que a serem permutados. E é isso o que faremos a seguir.

Permutação Simples

Uma permutação de n objetos distintos é qualquer agrupamento ordenados desses objetos, de modo que, se denominarmos Pn o número das permutações simples dos n objetos, então:

Pn  = n!

De fato, imaginemos que dispomos de  n objetos distintos para serem colocados em fila, ocupando n posições. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para ocupar a 1a posição. Ocupada a 1a posição com um objeto, a 2a posição pode ser ocupada por qualquer um dos n – 1 objetos restantes. Daí, ocupada a 2a posição, a terceira posição pode ser ocupada por qualquer um dos n – 2 objetos restantes. Repetindo esse raciocínio até o último objeto, restará para ele a última posição da fila. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, teremos: n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . … . 3 . 2 . 1 que é exatamente o mesmo que escrever  n!

- Exemplo:

De quantas maneiras pode-se colocar 4 pessoas em fila?  

- Resolução:

Note que, temos 4 pessoas que podem ocupar o 1o lugar da fila. Daí, colocada a primeira pessoa na fila, restam 3 pessoas que podem ocupar o 2o lugar da fila. Em seguida, colocada a 2a pessoa, agora restam duas pessoas que podem ocupar o 3o lugar da fila. E por fim, colocada a segunda pessoa na fila, sobra uma pessoa para ocupar a última posição. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos:

4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24

Combinações

Assim como foi feito no estudo dos arranjos, iremos separar as combinações em dois casos. As combinações simples e as combinações com repetição (também chamadas de combinações completas).

Combinações Simples

Considere um conjunto com  n elementos distintos. Qualquer subconjunto formado por de p desses elementos (todos distintos) é chamado de Combinação Simples (0 ≤ p ≤ n, com n e p naturais). Dizemos combinação simples de n elementos tomados p a p, e simbolizamos por Cn,p.