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Equação do 2º grau

Toda equação da forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0, é chamada de equação do 2° grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma equação do 2° grau incompleta.

A resolução de equações incompletas do 2° grau:

Equações do tipo ax² + bx = 0

1) Resolver em R a equação x² - 4x = 0

Colocando o fator x em evidência, obtemos:

x(x – 4) = 0

Quando o produto de dois números reais é igual à zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Portanto: x = 0 ou x – 4 = 0

                                              x = 4

Logo as raízes são 0 e 4.

Verificação:

Para x = 0, temos: 0² - 4.0 = 0 – 0 = 0 (V)

Para x = 4, temos: 4² - 4.4 = 16 – 16 = 0 (V)

Portanto a solução está correta.

2) Resolver em R a equação:

(2x + 5)² + 3x = 25

4x² + 20x + 25 +3x = 25

4x² + 23x = 0

x(4x + 23) = 0

x = 0 ou 4x + 23 = 0

                                4x = -23

                                  x = -23/4

3) Resolver em R a equação:

4/2x – 3x = 2 + 2/x, sendo x ≠ 0

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Multiplicando os dois membros da equação por 2x, para eliminar os denominadores vem:

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A partir do enunciado o número zero foi excluído da solução dessa equação (x ≠ 0), então: x = -2/3 é solução única.

4) Resolver em R a equação:

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Equações do tipo ax² + c = 0

5) Resolver em R a equação 2x² - 18 = 0

Adicionamos 18 aos dois membros da equação:

2x² - 18 + 18 = 0 + 18

2x² = 18

Dividimos os dois membros da equação por 2

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Então +3 e -3 são as raízes da equação.

6) Resolver em R a equação:

2x² + 4 = 0

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Equações do tipo ax² = 0

A equação do tipo ax² = 0 admite uma única solução: x = 0

7) Resolver em R a equação 2x² = 0

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Exercícios:

Resolva as equações em R:

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A resolução de equações completas do 2º grau

Equações do tipo: ax² + bx + c = 0

Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara , o método usado anteriormente serve para facilitar a resolução de equações incompletas em b e em c, principalmente as incompletas em b que são muito mais fáceis de serem resolvidas daquela forma, pois o uso da fórmula de Bháskara naquele caso tornaria a solução mais complicada.

Demonstração da fórmula de Bháskara:

Dada a equação ax² + bx + c = 0 , multiplique os dois membros da equação por 4a:

(4a )(ax² + bx + c ) = (4a ) . 0

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

4a²x² + 4abx = -4ac

Adicione b² aos dois membros da equação:

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Observe que o primeiro membro dessa igualdade é um trinômio quadrado perfeito igual a (2ax + b)²

(2ax + b )² = b² - 4ac

Extraia a raiz quadrada dos dois membros da igualdade:

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Resolver em R a equação 2x² - 10x + 12 = 0 :

Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, então:

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Relações entre os coeficientes e as raízes

Relação de soma

Sendo x1 e x2 as raízes da equação do 2º grau, desejamos obter a relação de soma em função dos coeficientes (a , b , c)

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Relação de produto:

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Fatoração do trinômio do 2º grau

Sendo r1 e r2 as raízes do trinômio do segundo grau ax² +bx + c , temos que:

ax² + bx + c = a(x-r1)(x-r2)

Fatorar o trinômio do 2º grau

5x² - 3x – 2

Inicialmente determinamos as raízes do trinômio. As raízes são os números que atribuídos a variável x anulam o trinômio, isto é, 5x² - 3x – 2 = 0

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Resolver em R a equação:

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Obtenha as equações do 2º grau conhecendo as raízes:

a) 2 e 3

(x – 2)(x – 3) = x² - 3x – 2x + 6 = x² - 5x + 6

x² - 5x + 6 = 0

b)-1 e -2

(x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2

x² + 3x + 2 = 0

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Resolver em R a equação:

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Condição de existência: x ≠ 0

O mmc dentre os denominadores 3² , 3x² e 3²x é o produto de todos os seus fatores, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente,isto é:

mmc( 3²,3x²,3²x) = 3²x² = 9x²

Multiplicando ambos os membros da equação por esse mmc,temos:

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Resolver em R a equação:

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Para o calculo do mmc dentre os denominadores, fatoramos cada um deles, obtendo:

2, 2²(x – 1) e (x + 1)(x – 1). O mmc é o produto de todos os fatores desses polinômios, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente, isto é:

mmc[2, 2²(x – 1), (x + 1)(x – 1)] = 2²(x + 1)(x – 1)

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Exercícios resolvidos:

Resolva em R as equações:

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A área de um retângulo é igual a 440 m². Sabendo que a medida da base e a da altura desse retângulo são números pares e consecutivos, determine seus valores.

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A = x(x + 2)

440 = x² + 2x

x² + 2x – 440 = 0

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Resolva em R as seguintes equações:

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