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História

Os primeiros indícios relacionados ao conceito de número irracional remontam ao conceito de incomensurabilidade. Dois segmentos são comensuráveis se existe uma unidade comum na qual podem ser medidos de forma exata. Por exemplo, um segmento de medida $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ e outro de medida $\scriptstyle {\frac {1}{8}}$ podem ser expressos por múltiplos inteiros de um segmento de medida $\scriptstyle {\frac {1}{24}}$, ou seja, $\scriptstyle {\frac {1}{3}}=8\times {\frac {1}{24}}$ e $\scriptstyle {\frac {1}{8}}=3\times {\frac {1}{24}}$.

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira havia mais de vinte séculos.

Classificação dos irracionais

Existem dois tipos de números irracionais:

• Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo ${\sqrt {2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {42}{5}}-{\sqrt[{5}]{7}}}}$. A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.

• Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ($\,\!\pi$) e o número de Euler ($\,\!e$). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.

Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional

Prova:

A prova é feita por redução ao absurdo. Suponha-se que ${\sqrt {2}}$ é racional.

Então pode-se colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:

p / q = ${\sqrt {2}}$.

Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se:

( p / q )² = 2. Então, p² = 2q². Como p² é par, então p também é par.

Logo pode-se chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, fica-se com:

( 2k )² = 2q². Ou seja, 4k² = 2q² e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par.

Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Conclui-se que ${\sqrt {2}}$ é irracional.

Se n é um número natural, então a raiz quadrada de n é ou irracional ou inteira

É claro que alguns números naturais tais como 1, 4 e 9, os chamados quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. Pode-se mostrar que este é o sempre caso quando a raiz quadrada é racional. Ou seja se ${\sqrt {n}}={\frac {p}{q}}$ então $p^{2}=n$.

A prova segue da seguinte forma: Suponha que $n$ admita raiz quadrada racional ${\frac {p}{q}}$ com p e q inteiros e q não nulo. Sem perda de generalidade, pode-se supor que p e q são primos entre si. Então tem-se $n^{2}={\frac {n^{2}}{1}}={\frac {p}{q}}$. Como ambas as frações da expressão são irredutíveis, tem-se $n^{2}=|p|$ e $1=|q|$. E o resultado segue.