Portal:Formação Intermediária/Matemática/Equações do segundo grau

Equação quadrática (também conhecida como equação do segundo grau) é um tipo de equação polinomial matemática. É necessário para que a equação seja considerada quadrática, que seja de segundo grau e siga a forma geral:

As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. (No caso da figura, as raízes da função são x = -1 e x=2).

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$

, onde a, b e c são os coeficientes do polinômio e pertencem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de que a seja sempre diferente de zero (caso contrário, a equação torna-se linear. A quantidade x, figurante no trinômio, que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado, caso exista no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

A mais simples e principal maneira de se resolver uma equação quadrática é usando-se a chamada Fórmula de Bhaskara, desenvolvida pelo matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria, a qual se exprime a ideia de que:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

, sendo a, b e c os mesmos coeficientes da equação de segundo grau. A partir desta fórmula, há três possibilidades da resolução da equação. Se b² - 4ac, comumente abreviado como Δ, for positivo, a equação tem duas raízes reais e distintas; se Δ for igual a zero, a equação passa a ter apenas uma raiz real; se Δ for negativo, a equação tem duas raízes complexas e distintas.

Introdução

A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio e que pertence ao 2º grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que, a incógnita x é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, levando-nos a crer que se a fosse igual a zero, anularia-se o x² e assim, a equação passaria a ser linear, de primeiro grau.

No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou principios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras fórmullas se dervivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos Vértices de uma função quadrática.

Paralela à evoulção dos estudos matemáticos da equação de segundo grau, cresceu também sua representação gráfica a chamada função quadrática. Nela, foi possível nítidamente, observar que há sempre um cume, valor máximo que a incógnita pode ter (chamada de Vértice), assim como a direção para a qual os valores crescem, etc. O conhecimento já guardado das funções, quando aplicados na equação quadrática, facilitaram demasiadamente os estudos de matemáticos ao longo da história.

Fórmula de Bhaskara

A Fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática, isto é, os valores que x pode assumir. A fórmula guarda este nome por ter sido divulgada pelo matemático e astronômo indiano Bhaskara Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta, porém, é atribuída aos babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi. Por muitos tempos, muitos estudiosos tentaram achar uma solução para x dentro desta equação, visto ter sido complicado, já que havia um termo ao quadrado e o mesmo de primeiro grau, na mesma equação. Assim, a fórmula de Bhaskara utiliza um método inteligente, unido pura e simplesmente, uma fatoração de um polinômio para conseguir pôr apenas uma incógnita x no caso e assim, achar um valor definitivo:

${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow \\\\(4a)(ax^{2}+bx+c)=(4a)\cdot 0\Leftrightarrow \\\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\Leftrightarrow \\\\(2ax)^{2}+2(2ax)b=-4ac\Leftrightarrow \\\\(2ax)^{2}+2(2ax)b+b^{2}=-4ac+b^{2}\Leftrightarrow \\\\(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\Leftrightarrow \\\\\left|2ax+b\right|={\sqrt {b^{2}-4ac}}\end{matrix}}\,\!$

Logo, tem-se, por definição de módulo, que:

• Se $(2ax+b)\geq 0\,\!$

${\begin{matrix}2ax+b={\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow \\\\2ax={\sqrt {b^{2}-4ac}}-b\Leftrightarrow \\\\x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!$

• Se $(2ax+b)<0\,\!$

${\begin{matrix}-(2ax+b)={\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow \\\\2ax+b=-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow \\\\2ax=-{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b\Leftrightarrow \\\\x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!$

Portanto,

$x=\left\{{\begin{matrix}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\rightarrow r_{1}\\\\{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\rightarrow r_{2}\end{matrix}}\right.\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

Propriedades matemáticas

A partir da Fórmula de Bhaskara, desmembram-se diversas outras fórmulas. Delas, chega-se a certas conclusões que já visam previamente determinados fatores, como, por exemplo, o conjunto ao qual pertencerá as raízes, o número de raízes que cabem à x ou também a soma e a diferença das raízes da equação.

Delta

Dentro da Fórmula de Bhaskara, com o intuito de diminuir a equação e assim, facilitar estudos de matemáticos, comumente, chama-se o polinômio b² - 4ac da letra grega delta ( Δ ) ou também discriminante. A partir daí, tem-se:

$\Delta =b^{2}-4ac\,\!$

Dessa forma, a Fórmula de Bhaskara pode ser escrita, resumidamente, da forma:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!$

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

• Se $\Delta >0\,\!$ , a equação terá duas raízes reais distintas.
  • Isto ocorre porque a fórmula de Bhaskara resolver-se-ia naturalmente, sem modificações e, sendo delta maior que zero, o valor de dentro de uma raiz será positivo, tornando-se, ineviltavelmente, um número real.
• Se $\Delta =0\,\!$ , a equação terá uma raíz dupla.
  • Isto ocorre porque zero é um número que não é positivo e nem negativo. Ele também, em somas e subtrações não altera o valor. Logo, pode-se dizer que a equação apenas teria uma raíz, representada por (- b)/(2a)
• Se $\Delta <0\,\!$, a equação terá duas raízes complexas disintas.
  • Verifica-se que, se delta for negativo, isto é, com valor inferior a zero, já que ele seria submetido à uma raiz quadrada, o universo que estuda a raiz quadrada dos números negativos é o dos complexos, tendo assim a equação, duas raizes complexas distintas.

Soma e Produto

A partir da Fórmula de Bhaskara acha-se a o resultado da soma S das duas raízes da equação e também sem produto P. Acha-se a soma realizando a real soma das duas raízes encontradas por Bhaskara:

$x={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!+{\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {-b-b-{\sqrt {\Delta }}+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {-2b}{2a}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {-b}{a}}\,\!$ F´[ Acha-se o produto pelo mesmo processo:

$x=({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!)({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!)\Leftrightarrow {\frac {(-b+{\sqrt {\Delta }})(-b-{\sqrt {\Delta }})}{4a^{2}}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {b^{2}-{\Delta }}{4a^{2}}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {4ac}{4a^{2}}}\,\!\Leftrightarrow {\frac {c}{a}}\,\!$

Assim, sendo $r_{1}$ e $r_{2}$ as raizes da equação quadrática:

• $r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}}=S$

e

• $r_{1}.r_{2}={\frac {c}{a}}=P$

Deste jeito, munido dessas propriedades, pode-se avaliar as raízes em muitos casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Utilizando a forma de soma e produto da equação quadrática, é possivel chegar à forma fatorada da equação. Tendo em conta que:

• $S=r_{1}+r_{2}$

e

• $P=r_{1}\times r_{2}$

Pode-se afirmar que:

$a(x^{2}-Sx+P)=0\Leftrightarrow a\left[x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+(r_{1}\times r_{2})\right]=0\Leftrightarrow a\left[(x-r_{1})(x-r_{2})\right]=0$

Logo,

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow a(x-r_{1})(x-r_{2})=0$

Esta é a forma fatorada da Equação quadrática.

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

${\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{1}.r_{2}}}={\frac {S}{P}}$

Soma dos Quadrados das Raízes

$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+2r_{1}.r_{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}.r_{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-2r_{1}.r_{2}=S^{2}-2r_{1}.r_{2}=S^{2}-2P$

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

${\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}={\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}.r_{2}^{2}}}={\frac {S^{2}-2P}{P^{2}}}$

Soma dos Cubos das Raízes

$r_{1}^{3}+r_{2}^{3}=r_{1}^{3}+3r_{1}^{2}.r_{2}+3r_{1}.r_{2}^{2}+r_{2}^{3}-3r_{1}^{2}.r_{2}-3r_{1}.r_{2}^{2}=(r_{1}+r_{2})^{3}-3(r_{1}+r_{2})(r_{1}.r_{2})=S^{3}-3S.P$

Média Aritmética das Raízes

${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}={\frac {S}{2}}$

Média Geométrica das Raízes

${\sqrt {r_{1}.r_{2}}}={\sqrt {P}}$

Média Harmônica das Raízes

${\frac {1}{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}{2}}}={\frac {2}{\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{1}.r_{2}}}}={\frac {2r_{1}.r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}={\frac {2P}{S}}$

Domínio e imagem da função

O gráfico da função $f(x)=ax^{2}+bx+c$ será sempre uma parábola com vértice em:

$V=\left({\frac {-b}{2a}},{\frac {-\Delta }{4a}}\right)$

Resolução das equações incompletas

c=0

É uma equação no formato $ax^{2}+bx=0$. A solução é feita da seguinte forma: $ax^{2}+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0$. Portanto, $x=0$ ou $ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$. Nesse caso, uma das raízes será sempre zero e a outra será real (se os coeficientes o forem).

b=0

É uma equação no formato $ax^{2}+c=0$. A resolução é feita deste modo: $ax^{2}+c=0\Leftrightarrow ax^{2}=-c\Leftrightarrow x^{2}=-{\frac {c}{a}}\Leftrightarrow x={\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$. Por isso, ${\frac {c}{a}}<0$, ou a equação não terá raízes reais. No caso delas serem reais, as raízes serão simétricas.

Bibliografia

• MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8