Portal:Formação Intermediária/Matemática/Os princípios da análise combinatória

Introdução

Há ocasiões nas quais nos deparamos que envolvem possibilidades, aparentemente, difícies de se calcular. Tomemos algumas informações curiosas:

• Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.) calculou que o número de grãos de areia necessários para prencher o Universo, até então imaginado, era um valor próximo de 10⁵¹-ou seja, o número 10 acompanhado de 50 zeros-.!!!!!
• Em um litro de ar há 27.10²¹ moléculas.
• Um cubo de alumínio com 3,32cm de aresta é formado por 602.10²¹ de átomos. Imaginando-se que esses átomos possam ser contatos um a um, à razão de 1 átomo por segundo, seriam necessários 19 quatrilhões de anos para terminar a contagem.

Agora responda, sinceramente: você sabe contar? Certos casos podemos descrever e enumerar todas as possibilidades, porém em certos casos isso seria uma tarefa exaustiva ou até impossível, como os exemplos anteriores. Para tais casos é necessário estabelecer métodos de contagem nas quais nos possibilitam resultados de um modo mais rápido. A obtenção de tais métodos é a preocupação básica da Análise Combinatória.

Princípio Fundamental da Contagem

O alicerce da análise combinatória é o Princípio Fundamental da Contagem. Para fins didáticos, podemos separar o princípio fundamental da contagem um duas partes: Princípio Multiplicativo de Contagem e Princípio Aditivo de Contagem

Princípio Multiplicativo de Contagem

Jefferson possui 16 camisetas, 6 calças jeans e 3 tênis. Sendo assim, quantas maneiras Jefferson pode se vestir, considerando que ele pegue apenas 1 camisa, 1 calça jeans e um tênis?

Para resolver tal problema, vamos considerar 3 conjuntos: C, J, T; onde repesentam as camisas, calças jeans e tênis, respctivamente.

Portanto:

C = {C₁, C₂, ... , C_16}

J = {J₁, J₂, ... , J₆}

T = {T₁, T₂, T₃}

Uma combinação possível para o Jefferson se vestir é:

C₇, J₄ T₂.

Podemos encontrar todas as combinações possíveis, descrevendo-as uma a uma, porém esse processo elementar não nos é viável, uma vez que seria muito exaustivo!

Porém, para obter o número total de possibilidades, não interessando suas especificações, basta aplicar o Princípio Multiplicativo.

Esse princípio é um método analítico de contagem que consiste em decompor o experimento em outros mais simples e multiplicar o número de possibilidades de cada um para calcular todas as possibilidades.

Ou seja, na situação representada podemos dividí-la em três experimentos:

1° Escolher uma camiseta

2° Escolher uma calça jeans

3° Escolher um tênis

Para a primeira experiência temos 16 possibilidades, 6 para segunda e, finalmente, 3 para a terceira.

Logo, pelo princípio multiplicativo, temos:

16*6*3 = 288 possibilidades de escolha.

Princípio Aditivo de Contagem

Em uma enquete realizada com jovens de uma escola, foram avaliados os gostos por dois gêneros músicas: POP e ROCK. A enquete perguntava simplesmente se o participante gostava de um ou do outro gênero, podendo gostar de ambos. No final, foram apurados os seguintes resultados:

• 90 Gostam de Rock.

• 124 Gostam de Pop.

• 43 Gostam de Rock e Pop.

Supondo que todos os alunos foram consultados e todos responderam pelo menos uma opção, quantos alunos tem a escola?

Se somarmos os três resultados, a primeira vista, pode parecer correto, porém esse raciocínio está errado! Pois, não é difícil perceber que o grupo que gosta de Rock e Pop foi contado mais de uma vez. No grupo de pessoas que gostam de Rock, estão contidas as pessoas que gostam de Rock podendo ou não gostar de Pop; no grupo de pessoas que gostam de Pop acontece o mesmo, sendo assim o conjunto interceção foi contado três vezes!!!

Para resolver esse problema vamos considerar as pessoas que gostam de ambos os gêneros; ao subtrairmos o número de elementos do mesmo ao número de elementos de outro conjunto, encontraremos o número de pessoas que gostam de um gênero específico, ou seja:

124 - 43 = 81.

Portanto 81 pessoas gostam apenas de Pop. Usando um raciocínio análogo temos que 47 pessoas gostam apenas de Rock. Logo o número de alunos da escola é 81 + 43 + 47 = 171.

Esse exemplo nos ajudará a entender o seguinte teorema, conhecido como princípio aditivo de contagem.

Teorema

Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por:

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(AnB); em que n() representa o número de elemento de um conjunto.

Exercícios

1) Uma garota tem 3 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela poderá sair usando saia e blusa sem repetir o mesmo conjunto?

2) Um salão possui 10 portas. Pergunta-se:

a) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar no salão e sair dele?

b) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente?

3) Numa cidade os números de telefone tem 6 algarismos. Determine:

a) o número de telefones que podem ser formados, sabendo-se que os números não podem começar por zero;

b) quantos telefones existem com prefixos 47;

c) quantos telefones terminam por 3.

4) No Brasil as placas de automóveis têm 8 letras seguidas de 4 algarismos. As letras usadas são as 23 do nosso alfabeto e ainda K, W e Y; sendo que não são feitas placas com os quatro algarismos iguais a zero.Q uantas placas diferentes podem ser formadas?

5) No universo dos números naturais de quatro algarismos distintos formados com 1, 2, 4, 5, 7 e 9, considere o conjunto A formado pelos números pares e o conjuto B formado pelos números maiores que 5.000.

a) Calcule n(A)

b) Calcule n(B)

c) Escreva um número que pertença a A e B ao mesmo tempo.

d) Encontre todos os números, desse universo, que são pares e maiores que 5.000.