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Progressão Geométrica é toda e qualquer sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão da P.G. e indicada pela letra Q. Portanto, se (A₁, A₂, A₃, ..., A_n-1, A_n) é uma P.G. de razão Q, então:

A_n = A_n-1.Q ou A₂/A₁ = A₃/A₂ = ... = A_n/A_n-1 = Q

Classificação

• Crescente: Quando A₁ > 0 e Q > 1 ou A ₁ < 0 e 0 < Q < 1.
• Decrescente: Quando A₁ > 0 e 0 < Q < 1 ou A₁ < 0 e Q > 1.
• Constante: Quando Q = 1.
• Alternante: Quando Q < 0. (Os termos positivos e negativos se alternam)
• Singular: Quando possui termo nulo.

Fórmula do termo geral da P.G.

A_n = A₁.Q, A₃ = A₂.Q = A₁.Q², A₄ = A₃.Q = A₁.Q³, ...

Logo se deduz: A_n = A₁.Q^n-1

Donde:

• A_n = n-ésimo termo (ou termo geral)
• A₁ = 1º termo
• Q = razão
• N = nº de termos

Soma dos termos

P.G. finita

$S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$ ou S_n = [A_nQ-A₁]/(Q-1)

P.G. infinita

Considerando-se um segmento unitário e dividindo sempre ao meio a última parte obtida, sucessivamente, temos: |========|====|==|=|···|

Observa-se que as partes obtidas formam a P.G. (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...). de razão Q = 1/2, cuja soma termos será S_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 (segmento dado). Isto nos mostra que para um nº de termos muito elevado, tendendo a infinito, a soma tende ao valor 1.

Dada a P.G. infinita de razão Q != 0, para se determinar a coma S dos seus infinitos termos, temos:

• Se -1 < Q < 1 ou Q > 1 (|Q| > 1), S tende a -infinito ou +infinito, sendo impossível a determinação de S.
• Se -1 < Q < 1 (|Q| < 1), S tende ou converge para um valor finito, portanto, possível de ser calculado.

Neste caso, temos: S_n = [A_n - A₁]/(Q-1) ou S_n = [A_nQ]/(Q-1) - A₁/(Q-1)

Observa-se que para n tendendo a infinito (n -> infinito), A_n decresce. Tendendo a zero (A_n -> 0) e o termo (A_nQ)/(Q-1) também tenderá a zero e a expresssão de S_n tenderá a:

$S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-q}}$ $={\frac {-a_{1}}{q-1}}$