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Exercícios resolvidos de Cálculo

Edwin. E. Moise. Cálculo, um curso universitário. Volume I.

Editora Edgard Blücher, Editora da Universidade de São Paulo.

PROBLEMAS 1.3

Resolva as seguintes desigualdades, escrevendo uma cadeia de desigualdades e dando, à direita, a razão de cada passagem, como no texto.

1. 5 - 3x > 17 + x

2. 5x - 3 < 17x + 1

3. -3x - 7 < x + 5

4. -4x - 8 < 2x + 6

5. 6x - 10 > 5x + 3

6. 3 - 2x < 4 - 3x

1.

5 - 3x > 17 + x $\Leftrightarrow$ 5 > 17 + 4x (por LAO, adicionando 3x a ambos os membros da desigualdade)

5 > 17 + 4x $\Leftrightarrow$ -12 > 4x (por LAO, adicionando -17 a ambos os membros da desigualdade)

-12 > 4x $\Leftrightarrow$ -3 > x (por LMO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 1/4)

-3 > x $\Leftrightarrow$ x < -3 (por definição de >)

2.

5x - 3 < 17x + 1 $\Leftrightarrow$ -12x - 3 > 1 (por LAO, adicionando -17x a ambos os membros da desigualdade)

-12x - 3 > 1 $\Leftrightarrow$ -12x > 4 (por LAO, adicionando 3 a ambos os membros da desigualdade)

-12x > 4 $\Leftrightarrow$ x < -1/3 (por IO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por -1/12)

3.

-3x - 7 < x + 5 $\Leftrightarrow$ -7 > 4x + 5 (por LAO, adicionando 3x a ambos os membros da desigualdade)

-7 > 4x + 5 $\Leftrightarrow$ -12 > 4x (por LAO, adicionando -5 a ambos os membros da desigualdade)

-12 > 4x $\Leftrightarrow$ -3 > x (por LMO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 1/4)

-3 > x $\Leftrightarrow$ x < -3 (por definição de >)

4.

-4x - 8 < 2x + 6 $\Leftrightarrow$ -6x - 8 < 6 (por LAO, adicionando -2x a ambos os membros da desigualdade)

-6x - 8 < 6 $\Leftrightarrow$ -6x < 14 (por LAO, adicionando 8 a ambos os membros da desigualdade)

-6x < 14 $\Leftrightarrow$ x > -7/3 (por IO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por -1/6)

5.

6x - 10 > 5x + 3 $\Leftrightarrow$ x - 10 > 3 (por LAO, adicionando -5x a ambos os membros da desigualdade)

x - 10 > 3 $\Leftrightarrow$ x > 13 (por LAO, adicionando 10 a ambos os membros da desigualdade)

6.

3 - 2x < 4 - 3x $\Leftrightarrow$ 3 + x > 4 (por LAO, adicionando 3x a ambos os membros da desigualdade)

3 + x > 4 $\Leftrightarrow$ x > 1 (por LAO, adicionando -3 a ambos os membros da desigualdade)

7. Dê uma justificação para o enunciado a > 0 $\Rightarrow$ 0 < a.

Na realidade, a > 0 e 0 < a são equivalentes (a > 0 $\Leftrightarrow$ 0 < a). Ora, é claro geometricamente que sempre que a estiver a direita de 0 na reta, 0 estará a sua esquerda.

8. Dê uma justificação para o enunciado 0 < a $\Rightarrow$ -a + 0 < -a + a.

Dada uma desigualdade x < y, AO garante que x + z < y + z, ou, como a adição é comutativa, z + x < z + y, qualquer que seja z. Assim, tomando x = 0, y = a e z = -a, temos o enunciado.

9. Demonstre o Teorema 1.

Teorema 1. Se a > 0, então -a < 0.

Demonstração:

Seja a > 0. Por AO, a + (-a) > 0 + (-a), para todo -a. Pelo postulado da Existência de Opostos, à esquerda, e pelo postulado do Existência do 0, à direita, a + (-a) = 0 > 0 + (-a) = -a, e 0 > -a $\Rightarrow$ -a < 0.

C.Q.D.

10. Justifique o enunciado a < 0 $\Rightarrow$ -a + a < -a + 0.

Dado a < 0, por AO, a + (-a) < 0 + (-a). Mas, a + (-a) < 0 + (-a) $\Leftrightarrow$ -a + a < -a + 0, pois a adição é comutativa.

11. Prove o Teorema 2.

Teorema 2. Se a < 0, então -a > 0.

Demonstração:

Seja a < 0. Por AO, a + (-a) < 0 + (-a), para todo -a. Pelo postulado da Existência de Opostos, à esquerda, e pelo postulado do Existência do 0, à direita, a + (-a) = 0 < 0 + (-a) = -a. Por definição de >, 0 < -a $\Rightarrow$ -a > 0.

C.Q.D.

12. Justifique o enunciado a < b $\Rightarrow$ a + c < b + c.

Se a < b vem, por AO, somando c a ambos os membros da desigualdade, que a + c < b + c.

13. Idem para c < d $\Rightarrow$ b + c < b + d.

Novamente por AO, vem de c < d que c + b < d + b, e, como a adição é comutativa, c + b = b + c < d + b = b + d.

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