Processos Estocásticos

Introdução editar

Imagine um bêbado, que após muito caminhar consegue enxergar sua casa. Supondo que o caminho esteja desimpedido, o instinto o levará a tentar caminhar em linha reta; A questão é que a bebida não permite. Se traçarmos um sistema cartesiano de modo que o bêbado esteja na origem e a casa em algum ponto do eixo das ordenadas, o bêbado é uma partícula caminhando para cima, pois a linha reta é o caminho mais curto; porém, o vetor deslocamento não coincide com o vetor  , pois o bêbado cambaleia para a direita ou esquerda aleatoriamente, fazendo com que a posição no bêbado no instante   seja  , supondo velocidade constante no eixo das ordenadas, onde   é um valor aleatório.

A sequência de valores   e suas variáveis aleatórias associadas   recebem o nome de cadeia, um caso especial de processo estocástico. Tipicamente, estudamos apenas sistemas markovianos, sistemas onde

 

onde   é a probabilidade do evento   ocorrer dado que o evento   ocorreu e   são as posições anteriores do bêbado. Esta relação de probabilidades quer dizer que a única informação que pode nos ajudar a prever onde o bêbado estará no próximo instante de tempo é a posição do bêbado no momento atual, sendo que a trajetória anterior, velocidade resultante, etc... não nos fornecem nenhuma informação extra.

Em muitas análises físicas estudamos sistemas complexos de um ponto de vista macroscópico, por exemplo, o movimento browniano é definido pela temperatura de cada patícula do sistema, mas não temos como mensurar tal temperatura. Sob suposições gerais, tais sistemas comportam-se como nosso bêbado do exemplo acima; podemos estimar apenas a probabilidade de mudança de estado do sistema.

Objetivo e Pré-Requisitos editar

O principal lucro do estudo formal de Processos Estocásticos é a aquisição de um liguajar universal para a descrição de problemas envolvendo probabilidade e este é o objetivo deste curso, mas para formalizar apropriadamente os conceitos noções de probabilidade (tanto baseada em Teoria da Medida quanto em Combinatória) são estritamente necessárias.

Definição Matemática Formal editar

Um processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo com uma estrutura de correlação bem definida. Em outros pontos de vista, um processo estocástico é uma sequência de funções mensuráveis, ou seja, uma variável aleatória   definida num espaço de probabilidade   que toma valores num espaço de funções  .

Um caso notável são as cadeias, sequências de variáveis aleatórias   com o tempo   sendo considerado discreto.
A completar.

Cadeias de Markov editar

A fazer.

Passeio Aleatório editar

A fazer.

Movimento Browniano editar

A fazer.

Cadeia de Ehrenfest e o Sistema de Gases de Boltzmann editar

Quando Boltzmann sugeriu seu modelo de gases Poincaré retrucou dizendo que neste modelo, após um tempo suficientemente grande, uma configuração inicial volta arbitrariamente próximo à configuração inicial. O modelo da Urna de Ehrenfest serviu para estimar o tempo gasto para que a configuração voltasse à configuração inicial, e foi possível concluir que demoraria mais do que a idade do universo, e portanto o modelo de Boltzmann foi aceito.

Considere que você tem duas urnas, uma contendo   bolas e a outra contendo   bolas. A idéia é a seguinte: Fixe uma urna. Considere uma configuração inicial  , e considere variáveis aleatórias i.i.d.  , de tal forma que   é uma uniforme discreta no conjunto  

Agora considere   como sendo:  , se   e  , se  .

De fato,   vai dizer a quantidade de bolas que tem em cada urna.   é claramente uma variável aleatória. Agora precisamos saber em quais  -álgebras estamos trabalhando. Então podemos dizer que  , e que  .

Exercício 1: Mostre que   é mensurável com relação a  .

Exercício 2: Mostre que   é um processo de markov e escreva quem é seu núcleo (neste caso o processo é homogêneo), i.e., mostre que

 

e descubra a função   tal que

 .
A formatar/completar.

Ruína do Jogador editar

A fazer.

Autômatos Celulares editar

Um autômato é uma máquina que recebe dados sob a forma de uma cadeia finita de símbolos de um alfabeto; Inicialmente, ele está numa configuração ou estado qualquer, e a cada símbolo lido ele muda de estada segundo uma regra determinística pré-fixada. Um exemplo de nenhuma utilidade mas que ilustra o que queremos dizer com estado é o seguinte: Temos um pequeno relógio, que inicialmente tem os dois ponteiros apontados para cima. O relógio recebe através de uma fita em sua parte superior símbolos pertencentes ao alfabeto  . Quando recebe o símbolo  , o ponteiro pequeno anda uma casa para esquerda, representando uma mudança de estado. Quando recebe o símbolo  , o ponteiro grande anda uma casa para a direita, representando uma outra mudança de estado. O conjunto de todos os possíveis estados é o conjunto de todas as possíveis combinações de posições do ponteiro pequeno e no ponteiro grande. Autômatos são ditos finitos se seu espaço de estado é finito. No caso do relógio acima, temos um autômato com   estados, pois cada possível configuração dos ponteiros é um estado.

Imagine agora um conjunto de autômatos arranjados de forma que podemos definir a vizinhança de um autômato, ou seja, dado um autômato qualquer temos um conjunto bem-definido de vizinhos para ele; Em cada instante de tempo, o input de cada autômato é o conjunto de estados de seus vizinhos. Este conjunto de autômatos e sua regra de vizinhança é chamado de autômato celular.

Físicos mais tradicionais vão reconhecer autômatos como variações do Modelo de Ising.

A completar.

Exemplo de Autômato Celular: Jogo da Vida de Conway editar

Este exemplo é tradicional em todo curso onde se utilizam autômatos celulares, mas atualmente sua relevância resume-se a exercícios de programação.

No jogo da vida, temos uma grade de células quadradas se estendendo infinitamente em cada direção. Cada célula representa um ser, que pode estar vivo ou morto, e dizemos que a célula a é vizinha da célula b se existe um vértice que pertence tanto a a quanto a b. Se em um instante de tempo uma célula (ou a entidade que ela representa) está viva, três coisas podem ocorrer:

  • Se menos de dois vizinhos estão vivos, no próximo instante de tempo a célula morre
  • Se mais de três vizinhos estão vivos, no próximo instante de tempo a célula morre sufocada
  • Caso contrário, a célula permanece viva

Se em um instante de tempo uma célula está morta, três coisas podem ocorrer:

  • Se exatamente três vizinhos estão vivos, ela se torna viva no próximo instante de tempo
  • Caso contrário, a célula permanece morta

A completar.

Autômatos Celulares com Ruído Aleatório editar

A fazer.

Autômatos Celulares Probabilísticos editar

A fazer.

Inferência em Processos Estocásticos editar

A fazer.