Sistemas de Numeração

Introdução

Número é um conceito matemático abstrato, mas bastante intuitivo. Pode-se definir como a representação de uma coleção de objetos iguais ou quantidades. São indicados por símbolos denominados algarismos ou dígitos e as palavras que os expressam são ditas numerais.

Seja, por exemplo, uma espécie de objeto representada pela letra grega alfa (α). A coleção ααα é simbolizada por 3α, a coleção ααααα é indicada por 5α e assim sucessivamente.

Na tabela abaixo, a coluna (a) contém coleções sucessivas do objeto mencionado e a coluna (b) dá a representação numérica usual.

Um fato notável ocorre a partir da quantidade 10: em vez de criado um novo algarismo, foram usados dois já existentes. Esse artifício, que forma um sistema de numeração, é fundamental, uma vez que os tamanhos das coleções são ilimitados e, portanto, seria inviável a definição de infinitos símbolos diferentes.

A base de um sistema de numeração corresponde à quantidade de algarismos diferentes que são usados. O sistema padrão de uso cotidiano é denominado decimal porque são usados dez algarismos diferentes (01234567989).

Sistemas de numeração podem ser definidos com qualquer base, desde que maior que a unidade. Na coluna (c) da tabela, são usados os mesmos algarismos do sistema decimal, mas apenas até o 7. Isso forma o sistema de base oito ou octal de numeração. Portanto, 10 nessa base corresponde ao 8 decimal, 11 ao 9, etc. A coluna (d) da tabela mostra o sistema hexadecimal. Ele usa todos os algarismos do sistema decimal mais as primeiras letras do alfabeto para formar a base de tamanho 16.

A menor base possível é constituída por dois dígitos diferentes, quase sempre representada pelos dois primeiros algarismos do sistema decimal (0 e 1). É o sistema binário de numeração, conforme exemplo da coluna (d) da tabela. Formação do número.

Pode-se facilmente concluir que a lei de formação de um número inteiro N corresponde à seguinte identidade aritmética:

N = … + a2 b2 + a1 b1 + a0 b0 #A.1#. Onde ai são os algarismos e b é a base.

Exemplo: o número decimal 354 corresponde a 3 102 + 5 101 + 4 100. Por essa formação, no caso de números decimais, costuma-se dizer que, da direita para a esquerda, o primeiro algarismo indica unidade (100 = 1), o segundo indica dezena (101 = 10), o terceiro indica centena (102 = 100), etc.

Identificação da base

De acordo com a convenção clássica, um número N em uma base b é representado na forma

Nb #B.1#.

Exemplo: conforme a décima primeira linha da tabela acima, ocorrem as equivalências nas diferentes bases:

1010 = 128 = A16 = 10102.

Na prática, os números decimais são escritos sem o índice porque formam a base usual. Em Eletrônica Digital e em Informática são comuns notações para evitar caracteres subscritos de índices. Exemplo: em linguagem C, base octal é identificada pelo prefixo 0 (035, 021, etc) e base hexadecimal pelo prefixo 0x (0x11, 0xCC, etc). Números binários são normalmente escritos sem o índice 2 da base porque a própria seqüência de dígitos 0 e 1 é, em geral, suficiente para identificá-los. Naturalmente, faz-se alguma observação se houver possibilidade de confusão com a base decimal.

Circuitos digitais operam com fundamentos no sistema binário de numeração. Os sistemas octal e hexadecimal são usados para representar números binários de forma compacta. As suas bases são potências inteiras de 2 (8 = 23 e 16 = 24), possibilitando, ao contrário da base 10, conversões rápidas e fáceis.

Conteúdo

Conversão de numérica entre sistemas de numeração

Conversão de Binário para Octal

Octal Binário 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

Tab 01 Na conversão entre octal e binário, pode ser usada a Tabela 01, que mostra a equivalência entre dígitos octais e binários já vista no primeiro tópico. Nessa tabela são acrescentados, onde necessário, zeros à esquerda para formar grupos de três dígitos binários.

Adota-se a seguinte regra: cada dígito octal equivale a três binários conforme tabela e vice-versa.

Exemplo: seja N = 3118. Na conversão para binário, basta substituir cada dígito octal pelo grupo de três binários da tabela. Portanto,

3118 = 011 001 001. Eliminando os espaços e zeros à esquerda, 11001001.

Na operação inversa, separam-se os dígitos binários em grupos de três dígitos, com adição, se necessário, de zeros à esquerda para o último grupo da esquerda. E os dígitos octais são os correspondentes na tabela. Assim,

11001001 = 011 001 001 = 3118.

Conversão de Binário para Hexadecimal

Hexadecimal Binário

   0         0000
   1         0001
   2         0010
   3         0011
   4         0100
   5         0101
   6         0110
   7         0111
   8         1000
   9         1001
   A         1010
   B         1011
   C         1100
   D         1101
   E         1110
   F         1111

Tab 02 A conversão entre hexadecimal e binário usa procedimento similar ao anterior. Enquanto, para a octal, são usados grupos de três dígitos binários (porque 8 = 23), para a hexadecimal, são grupos de quatro (porque 16 = 24).

Assim, cada dígito hexadecimal equivale a quatro dígitos binários conforme Tabela 02 e vice-versa.

Exemplo: seja N = C916. Substituindo de acordo com a tabela,

C916 = 1100 1001. Eliminando espaços, C916 = 11001001.

Na operação inversa, basta separar os dígitos binários em grupos de quatro, com adição de zeros à esquerda para o último, se necessário, e obter a equivalência na tabela.

11001001 = 1100 1001 = C916.

Outro exemplo: 110011 = 0011 0011 = 3316.

Conversão de Octal para Hexadecimal

Para a conversão entre octal e hexadecimal, em vez de uma regra própria, é mais fácil usar o procedimento indireto, com a conversão auxiliar para binário.

Exemplo: das conversões anteriores, conclui-se que 3118 = C916.