DC-UFRPE/Bacharelado em Ciência da Computação/Teoria dos grafos

Programa da Disciplina

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Nome: Teoria dos Grafos
Código: 06232
Departamento: Departamento de Computação (DC)
Área:
Carga-horária total: 60 horas
Créditos: 4
Pré-requisitos:

Ementa

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Noções básicas: grafos orientados, não-orientados, bipartidos. Percursos em grafos. Casamentos. Subgrafos, hipergrafos, matróides e cliques. Árvores e árvores geradoras. Conectividade. Problemas de caminhos. Grafos planares. Grafos sem circuitos. Redes. Fluxos em redes.

Objetivos

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Geral:

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• Prover um primeiro contato com a Teoria dos Grafos, de um ponto de vista combinatório, apresentando o objeto formal “grafo” (não dirigido), as principais definições e propriedades estruturais desse objeto, e sobrevoar um recorte dos tópicos e resultados clássicos dessa teoria.

Específicos:

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• Apresentar o conceito formal de grafo, uma nomenclatura básica consagrada na Teoria dos Grafos, bem como as definições e propriedades de estruturas fundamentais como conjuntos independentes, coberturas, cortes, cliques.

• Apresentar um conjunto selecionado de problemas e resultados da Teoria dos Grafos, de teoremas clássicos, oriundos de alguns tópicos fundamentais: colorações, emparelhamentos, planaridade, trilhas e circuitos, propriedades extremais, fluxos em grafos.

• Ganhar familiaridade com demonstrações formais de enunciados envolvendo grafos.

• Ganhar familiaridade com a manipulação de grafos em um pacote matemático.

Conteúdo Programático

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  1. História da Teoria dos Grafos
  2. Definição formal de grafos não-dirigidos e definições estruturais básicas: graus, vizinhança, cortes, conjuntos independentes, cliques, coberturas
  3. Isomorfismo de grafos, conexidade, árvores
  4. Coloração de vértices: Teorema de Brooks
  5. Emparelhamentos: Teorema de Hall, Teorema de König, Teorema de Tutte
  6. Coloração de arestas: Teorema de Vizing
  7. Circuitos hamiltonianos: Teorema de Dirac, Teorema de Ore
  8. Tópicos de Teoria de Ramsey
  9. Planaridade: Teorema de Kuratowski, Teorema de Euler
  10. Fluxos em grafos

Métodos Didáticos de Ensino

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Os desafios didáticos oriundos da apresentação de um conteúdo matemático, formal, em regime remoto, serão enfrentados através da realização semanal de aulas síncronas na plataforma Google Meet com o uso de ferramentas abertas para desenho, geração e manipulação de grafos. Uma recurso estará no centro desse esforço: a ferramenta SageMath (https://www.sagemath.org/), que é um pacote de computação matemática baseado na linguagem Python, de código aberto, contendo uma vasta coleção de bibliotecas, abrangendo diversas áreas da Matemática, em especial a Teoria dos Grafos. O SageMath será utilizado como andaime (no sentido de Vygotsky) não somente para promover a compreensão das definições apresentadas, mas também para facilitar a internalização de conhecimento abstrato elaborado, especialmente as demonstrações de teoremas selecionados. Cadernos Jupyter com roteiros escritos em SageMath e LaTeX servirão como documentos-guia tanto para a exposição de conceitos, como para o direcionamento do aluno à solução autônoma de um problema. Os alunos serão levados a praticar com essa ferramenta e também em lápis e papel resolvendo semanalmente problemas de Teoria dos Grafos.

Bibliografia

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Básica

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  1. FEOFILOFF, Paulo; KOHAYAKAWA, Yoshiharu; WAKABAYASHI, Yoshiko. Uma introdução sucinta à teoria dos grafos. II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, 2011. Disponível com autorização dos autores em https://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/
  2. BONDY, John Adrian; MURTY, U. S. R. Graph Theory with Applications. Amsterdã: North-Holland, 1976. Disponível com autorização dos autores em https://www.freetechbooks.com/graph-theory-with-applications-t559.html.
  3. DIESTEL, Reinhard. Graph theory. New York: Springer-Verlag, 2000. Disponível com autorização do autor em https://diestel-graph-theory.com/

Complementar

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  1. FEOFILOFF, Paulo. Exercícios de teoria dos grafos. Manuscrito. Disponível com autorização do autor em https://www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/