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Frações

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como ${\frac {a}{b}}$, designa este número ${a}$ dividido em ${b}$ partes iguais. Neste caso, ${a}$ corresponde ao numerador, enquanto ${b}$ corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas. Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4=${\frac {3}{4}}$ da folha, ou seja você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração ${\frac {56}{8}}$ designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb {Q}$. Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Tipos de Frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: ${\frac {1}{2}}$

• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: ${\frac {7}{3}}$

• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2{\frac {1}{3}}$.Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: $3{\frac {1}{2}}$ 2x3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)e assim por diante repetindo o denominador

• aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: ${\frac {4}{4}}$

• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: ${\frac {4}{4}}={\frac {2}{2}}$ 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.

• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: ${\frac {9}{22}}$

• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: ${\frac {1}{3}}$

• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}}={\frac {3}{5}}$

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: ${\frac {437}{100}}$

• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: ${\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}$

• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ da seguinte maneira $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}$

Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={{1}^{2} \over {2}^{2}}={\frac {1}{4}}=0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={({0,5})^{2}}=0,25$

Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

${{\sqrt[{2}]{\frac {1}{4}}}={{\sqrt[{2}]{1}} \over {\sqrt[{2}]{4}}}={{1} \over {2}}}=0,5$

Expoente fracionário

Da mesma forma que na ,divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{{2} \over {3}}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}={\sqrt[{3}]{64}}={4}$

ou pode ser feita assim Fração#Divis.c3.A3o/Multiplicação

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

${\frac {4}{8}}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

${\frac {4:4}{8:4}}={{1} \over {2}}$

Comparação entre frações

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se ${\frac {a}{b}}\,$ e ${\frac {c}{d}}\,$ são frações irredutíveis, com a, b, c e d inteiros positivos, então ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\implies a=c\land b=d\,$.

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

${\frac {2}{5}}$   ?   ${\frac {3}{7}}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

${35 \over {5}}={7}$   ∴   $7\times {2}={14}$

${35 \over {7}}={5}$   ∴   $5\times {3}={15}$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

${\frac {14}{35}}={\frac {2}{5}}$   e   ${\frac {15}{35}}={\frac {3}{7}}$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

${\frac {14}{35}}$ < ${\frac {15}{35}}$ logo ${\frac {2}{5}}$ < ${\frac {3}{7}}$

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

${\frac {7}{3}}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2{\frac {1}{3}}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.